Otwórz menu główne

Kryterium Raabegokryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich opublikowane w 1832[1] przez szwajcarskiego matematyka, Josepha Ludwiga Raabego. W 1834 Raabe opublikował wersję uogólnioną kryterium[2].

Spis treści

KryteriumEdytuj

Niech dany będzie szereg

 
(A)

o wyrazach dodatnich oraz niech

 
  • Jeżeli dla dostatecznie dużych   oraz pewnego   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) rozbieżny[3][4].

Kryterium Raabego można wypowiedzieć w sposób bardziej zwięzły.

  • Jeżeli
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli dla prawie wszystkich   zachodzi
 
to szereg (A) jest rozbieżny[5].

Wersja graniczna kryterium RaabegoEdytuj

Spotykana jest też następująca graniczna, słabsza wersja kryterium Raabego nazywana wersją graniczną bądź limesową[6]:

Jeżeli granica

 

istnieje, to

  • szereg (A) jest zbieżny, gdy   oraz
  • szereg (A) jest rozbieżny, gdy  [6].

Przykład zastosowaniaEdytuj

Niech   będzie liczbą rzeczywistą oraz niech dany będzie szereg

 

Wówczas

 

skąd

 

a więc z kryterium Raabego (w wersji granicznej) rozważany szereg jest rozbieżny, gdy   oraz rozbieżny gdy   W przypadku   rozważany szereg to (rozbieżny) szereg harmoniczny[7].

Szereg harmonicznyEdytuj

W przypadku szeregu harmonicznego

 

dla wszystkich liczb naturalnych   mamy

 

więc kryterium Raabego potwierdza rozbieżność tego szeregu. Sama rozbieżność szeregu harmonicznego jest jednak wykorzystywana w dowodzie kryterium (zob. Dowód).

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzygaEdytuj

Jeśli ciąg   maleje do   to kryterium Raabego nie rozstrzyga o zbieżności. Istotnie, dla szeregu

 

ciąg

 

jest ciągiem malejącym do   Ale na mocy kryterium Jermakowa szereg jest zbieżny[8].

Z drugiej strony dla szeregu

 

ciąg

 

maleje do   Ale na mocy kryterium Schlömilcha szereg ten jest rozbieżny.

Przykłady te pokazują, że twierdzeniu nie można warunku

Jeżeli dla dostatecznie dużych   oraz pewnego   spełniona jest nierówność  

zastąpić warunkiem

Jeżeli dla dostatecznie dużych   spełniona jest nierówność  

Inaczej mówiąc, dla dostatecznie dużych   zbiór elementów ciągu   musi być izolowany od liczby  

Porównanie wersji kryteriumEdytuj

Niech dany będzie szereg

 

W tym przypadku

 

a stąd

 

tj. wersja graniczna kryterium Raabego nie rozstrzyga o zbieżności. Z drugiej jednak strony, dla wszystkich   zachodzi

 

a więc na mocy (oryginalnego) kryterium Raabego rozważany szereg jest rozbieżny[9]. Przykład ten pokazuje, że wersja graniczna kryterium Raabego jest słabsza od oryginalnej.

DowódEdytuj

Idea dowodu kryterium Raabego polega na porównywaniu danego szeregu z szeregiem harmonicznym

 

który jest zbieżny dla  [10] oraz rozbieżny dla  .

Niech dla szeregu (A) zachodzi   dla pewnego   i dostatecznie dużych   Stąd także

 

Niech   będzie dowolną liczbą spełniającą   Z uwagi na to, że

 [11]

dla dostatecznie dużych   spełniona jest nierówność

 

tj.

 

Oznacza to, że

 

czyli

 

Po prawej stronie powyższej nierówności występuje stosunek kolejnych wyrazów zbieżnego szeregu harmonicznego   a więc na mocy kryterium porównawczego wyjściowy szereg jest zbieżny.

W przypadku, gdy od pewnego wyrazu zachodzi nierówność   to zachodzi także nierówność

 

więc na mocy kryterium porównawczego wyjściowy szereg jest rozbieżny, gdyż po prawej stronie powyższej nierówności występuje stosunek kolejnych wyrazów rozbieżnego szeregu harmonicznego  

Dowód w oparciu o kryterium KummeraEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Kummera.

Z rozbieżności szeregu harmonicznego wynika, że ciąg   spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas

 

gdzie   jest takie jak w wypowiedzi kryterium Kummera. Wynika stąd bezpośrednio kryterium Raabego[12].

Kryterium Raabego według KnoppaEdytuj

Knopp w swojej monografii[13] podaje następujacą wersję kryterium Raabego dla szeregu (A). Niech

 
  • Jeżeli
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli dla prawie wszystkich     to szereg (A) jest rozbieżny.

Kryteria te jednak nie są równowazne. Istotnie, w przypadku szeregu

 

ciąg

 

maleje do 1, a więc oryginalne kryterium Raabego nie rozstrzyga zbieżności. Z drugiej jednak strony,

 

rośnie do 1, a więc na mocy kryterium Raabego w wersji Knoppa, rozważany szereg jest rozbieżny[14].

Porównanie z kryterium d’AlembertaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium d’Alemberta.

Kryterium Raabego jest mocniejsze od kryterium d’Alemberta w następującym sensie. Jeżeli istnieje granica

 

i jest ona różna od   to granica   ciągu   również istnieje oraz

  •   gdy  
  •   gdy  

Oznacza to, że jeżeli kryterium d’Alemberta rozstrzyga zbieżność danego szeregu o wyrazach nieujemnych, to tym bardziej rozstrzyga ją kryterium Raabego[15][16]. Przykładem szeregu, którego zbieżność rozstrzyga kryterium Raabego, ale kryterium d’Alemberta już nie, jest

 [17]

gdzie !! jest symbolem dwusilni. Istotnie, w tym przypadku

 

a zatem kryterium d’Alemberta się nie rozstrzyga o zbieżności. Z drugiej jednak strony

 

Ponieważ

 

z kryterium Raabego wynika zbieżność rzeczonego szeregu.

Porównanie z kryterium SchlömilchaEdytuj

Osobny artykuł: kryterium Schlömilcha.

Kryterium Schlömilcha rozstrzyga o zbieżności szeregu (A) wtedy i tylko wtedy, gdy o zbieżności (A) rozstrzyga kryterium Raabego[18]. Nie jest tak w przypadku stwierdzaniu rozbieżności szeregów.

Niech dany będzie szereg

 

Wówczas

 

tj. ciąg   maleje do   a więc kryterium Raabego nie rozstrzyga. Z drugiej jednak strony

 

dla dostatecznie dużych   (zob. sformułowanie kryterium Schlömilcha), a więc rozważany szereg jest rozbieżny[19].

PrzypisyEdytuj

  1. J. L. Raabe, Untersuchungen über die Konvergenz und Divergenz der Reihen, Zeitschrift für Mathematik und Physik, 10 (1832), 41-74.
  2. J.L. Raabe, Note zur Theorie der Convergenz und Divergenz der Reihen, „Journal für die reine und angewandte Mathematik” 11 (1834), 309–310.
  3. Fichtenholz 1966 ↓, s. 234–235.
  4. Musielak i Musielak 2000 ↓, s. 61–62.
  5. Leja 1971 ↓, s. 194.
  6. a b Musielak i Musielak 2000 ↓, s. 62.
  7. Fichtenholz 1966 ↓, s. 238.
  8. Fichtenholz 1966 ↓, s. 248.
  9. Ram i Srinivasan 1978 ↓, s. 362–363.
  10. Fichtenholz 1966 ↓, s. 227.
  11. Fichtenholz 1965 ↓, s. 131.
  12. Fichtenholz 1966 ↓, s. 240.
  13. Knopp 1990 ↓, s. 285.
  14. Prus-Wiśniowski 2008 ↓, s. 249.
  15. Fichtenholz 1966 ↓, s. 236.
  16. Stromberg 2015 ↓, s. 407.
  17. Fichtenholz 1966 ↓, s. 237–238.
  18. Prus-Wiśniowski 2009 ↓, s. 122.
  19. Prus-Wiśniowski 2009 ↓, s. 120.

BibliografiaEdytuj

  • Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1. Warszawa: PWN, 1965.
  • Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.
  • Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Blackie & Son Ltd., London-Glasgow 1990.
  • Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
  • Julian Musielak, Helena Musielak: Analiza matematyczna I/1. Poznań: Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
  • Franciszek Prus-Wiśniowski, A Refinement of Raabe’s Test, The American Mathematical Monthly, 115, No. 3 (Mar., 2008), 249–252.
  • Franciszek Prus-Wiśniowski, Comparison of Raabe’s and Schlömilch’s tests, Tatra Mt. Math. Publ. 42 (2009), 119–130.
  • B. Ram, V.K. Srinivasan, Remarks on Raabe’s test in infinite series, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 9:3 (1978), 361–363.
  • Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.