Kryterium całkowe

Kryterium całkowe (także kryterium całkowe Maclaurina-Cauchy’ego[1]) – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich oparte na idei porównywania danego szeregu z całką. Wczesna forma tego kryterium została odkryta w Indiach przez Madhawę[2] w XIV wieku i jego następców ze szkoły w Kerali. W Europie kryterium zostało później ponownie odkryte przez Maclaurina w 1742[3] i Cauchy’ego[4].

KryteriumEdytuj

Niech   będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto   dla każdego   Wówczas szereg

 
(A)

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa

 [5]
(I)

Interpretacja geometrycznaEdytuj

 
Wykres funkcji   na przedziale  

Całka (I) wyraża pole powierzchni pod krzywą   (na ilustracji obok zaznaczonej na czarno) na przedziale   Wyrazy szeregu (A) podają wielkość rzędnych wykresu w punktach   a więc wyrażają pola prostokątów o podstawie   i wysokościach   (na ilustracji obok zaznaczone na zielono). Suma szeregu (A) jest zatem sumą pól rzeczonych prostokątów. Biorąc to pod uwagę, kryterium całkowe można zinterpretować następująco: jeżeli pole pod wykresem   jest skończone, to tym bardziej skończona jest suma pól   (równa sumie szeregu (A)). Dokonując przesunięcia każdego z prostokątów o   w prawo, wykres   na przedziale   znajdzie się zawarty w figurze złożonej ze wspomnianych przesunięć. W szczególności, jeżeli pole pod wykresem   jest nieskończone, to nieskończone musi być także pole rozważanej figury, a więc i tym samym suma szeregu (A)[6].

DowódEdytuj

Ponieważ funkcja   jest malejąca zachodzą nierówności

  •   dla  
  •   dla  

Oznacza to, że

 

a stąd

 

W przypadku gdy całka (I) jest zbieżna, ciąg całek częściowych

 

jest ograniczony, co pociąga ograniczoność ciągu sum częściowych

 

szeregu (A). Ciąg ten jest także niemalejący (z założenia, że wyrazy szeregu (A) są nieujemne), więc jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest on zbieżny, a tym samym szereg (A) jest zbieżny.

W przypadku, gdy szereg (A) jest zbieżny, wyżej zdefiniowany ciąg całek częściowych jest również ograniczony, a więc zbieżny (do całki (I)) jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych[7].

Przykłady zastosowaniaEdytuj

 
jest zbieżny dla   Istotnie, funkcja   jest dodatnia i malejąca na przedziale   więc stosuje się kryterium całkowe:
 
gdy   czyli gdy  [7].
  • Szereg
 
jest zbieżny dla   i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Istotnie, oznaczając
 
mamy
 
 
a stąd całka niewłaściwa   istnieje gdy   oraz nie istnieje w przeciwnym przypadku[8].

PrzypisyEdytuj

  1. Fichtenholz 1966 ↓, s. 242.
  2. Petrovic 2014 ↓, s. 178.
  3. C. Maclaurin, Treatise of fluxions, 1. Edinburgh, 1742.
  4. A.L. Cauchy, Sur la convergence des séries, Oeuvres complètes Ser. 2, 7, Gauthier-Villars (1889), s. 267–279.
  5. Fichtenholz 1966 ↓, s. 243.
  6. Fichtenholz 1966 ↓, s. 244.
  7. a b Leja 1971 ↓, s. 276.
  8. Leja 1971 ↓, s. 276–277.

BibliografiaEdytuj