Kryterium d’Alemberta

Kryterium d’Alemberta (także kryterium ilorazowe d’Alemberta[1]) – jedno z podstawowych kryteriów zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich udowodnione przez d’Alemberta.

KryteriumEdytuj

Niech dany będzie szereg liczbowy

 
(A)

o wyrazach dodatnich oraz niech

 
  • Jeżeli dla dostatecznie dużych   oraz pewnego   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) jest zbieżny.
  • Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych   spełniona jest nierówność
 
to szereg (A) jest rozbieżny[2].

Wersja graniczna kryteriumEdytuj

Często używana jest też następująca, formalnie słabsza, wersja kryterium. Jeżeli istnieje granica

 

to

  • gdy   szereg (A) jest zbieżny, oraz
  • gdy   szereg (A) jest rozbieżny[2].

Przypadek, w którym kryterium nie rozstrzygaEdytuj

Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy

 

Istotnie, rozważmy ciągi

 

Wówczas

 

Jednak szereg (A) jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a drugi z szeregów jest zbieżny (zob. problem bazylejski)[3][4].

DowódEdytuj

Załóżmy, że dla dostatecznie dużych   oraz pewnego   spełniona jest nierówność

 

Stąd

 

dla każdego   Oznacza to, że dla każdego   spełniona jest nierówność

 

Szereg

 

jest zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie   Ponadto, majoryzuje on szereg

 

Na mocy kryterium porównawczego szereg (A) jest zatem zbieżny[1][5].

W przypadku gdy istnieje taka liczba   że nierówność

 

zachodzi dla wszystkich   szereg (A) nie spełnia warunku koniecznego zbieżności, tj. ciąg   nie jest zbieżny do 0. W szczególności, szereg (A) jest rozbieżny[2].

Przykłady zastosowaniaEdytuj

  • Kryterium d’Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny   szeregu (A) zawiera symbol silni. Rozważmy następujący przykład
 
Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci
 
Mamy
 
Zatem korzystając z granicy
 
otrzymujemy
 
co dowodzi zbieżności rozważanego szeregu.
  • Niech
 
Wówczas
 
Oznacza to, że szereg
 
jest rozbieżny.

PrzypisyEdytuj

  1. a b Musielak i Musielak 2000 ↓, s. 61.
  2. a b c Fichtenholz 1966 ↓, s. 234.
  3. Kuratowski 1967 ↓, s. 47.
  4. Leja 1971 ↓, s. 193.
  5. Leja 1971 ↓, s. 192–193.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Eric W. Weisstein, Ratio Test, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-06-20].