Krzywizna Gaussa

Krzywizna Gaussa jest miarą zakrzywienia powierzchni $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ w punkcie $x\in \mathbb {R} ^{3}.$

Trzy powierzchnie o różnej krzywiźnie Gaussa – od lewej do prawej: hiperboloida (ujemna krzywizna Gaussa), walec (zerowa krzywizna Gaussa) oraz sfera (dodatnia krzywizna Gaussa).

Definicja

Krzywizną Gaussa powierzchni $M\subset \mathbb {R} ^{3}$ w punkcie $x\in \mathbb {R} ^{3}$ nazywamy liczbę $\mathrm {K}$ równą $\mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2},$ gdzie $\kappa _{i}$ są krzywiznami głównymi rozważanej powierzchni $M$ w punkcie $x.$

Krzywizna Gaussa może być wyliczona jako iloraz wyznaczników pierwszej i drugiej formy podstawowej powierzchni: $\mathrm {K} ={\frac {\det(II)}{\det(I)}}.$

Może być również wyliczona za pomocą symboli Christoffela:

$\mathrm {K} =-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)$

Twierdzenia

• Theorema egregium: Krzywizna Gaussa jest niezmiennikiem lokalnych izometrii.
• Twierdzenie Gaussa-Bonneta: Całkowita krzywizna Gaussa $\int _{M}\mathrm {K} dS$ zwartej powierzchni bez brzegu jest równa charakterystyce Eulera powierzchni pomnożonej przez $2\pi .$