Wzory i definicjeEdytuj

Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:

 

Natomiast krzywiznę ze znakiem:

 

gdzie   jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a   długością tego łuku.

Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.

Wzory na krzywiznę   w punkcie   są następujące:

 
  • Dla krzywej określonej parametrycznie   w układzie kartezjańskim:
 
  • Dla krzywej określonej funkcją   w układzie biegunowym:
 

Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie   nazywamy odwrotność jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:

 

Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie   nazywamy punkt   leżący na normalnej do krzywej w punkcie   po stronie jej wklęsłości w odległości od   równej promieniowi krzywizny.

Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie   krzywej są następujące:

  • Dla krzywej o równaniu  
 
 
  • Dla krzywej o równaniach  
 
 

DowódEdytuj

Krzywizna krzywej   w punkcie   jest równa granicy ilorazu kąta   pomiędzy stycznymi poprowadzonymi w punktach   i   a długością łuku   między   a   gdy  

 

Kąt   można inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:

 

Natomiast długość łuku   jako całkę oznaczoną:

 

Wtedy, zważając na to, że  

 

Ponieważ mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym   dlatego stosujemy regułę de l’Hospitala:

 

Pochodna   jest równa   natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego, mamy:

 

Dla funkcji uwikłanej   wystarczy zamienić   na   przez co wzór przyjmuje następującą postać:

 

Jest wtedy jednak zależny zarówno od   jak i  

Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.

Inny dowódEdytuj

Krzywa dana w sposób jawnyEdytuj

Dana jest krzywa płaska[1] o równaniu   i ciągłych pochodnych   Na krzywej wyróżnimy dwa jej punkty   i   Styczne do krzywej poprowadzone w tych punktach opisane są równaniami

(a) 

Proste prostopadłe do tych stycznych w punktach   zwane normalnymi, otrzymamy zmieniając wartości współczynników kierunkowych w równaniach (a)

(b) 
 
Promień   krzywizny krzywej

Punkt   w którym przecinają się te normalne otrzymamy rozwiązując układ równań (b).

 

gdzie:

 

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez   i po przejściu do granicy   (punkt   zmierza do punktu  ) otrzymujemy proste wzory dla współrzędnych środka krzywizny krzywej w punkcie  

 

gdzie:

 

Promień krzywizny krzywej   otrzymamy z równania

 
 

Krzywa opisana parametrycznieEdytuj

Przez dwa punkty   krzywej[1] opisanej równaniami   przechodzi sieczna dana równaniem

  lub  

Dla uproszczenia zapisu w dalszym ciągu posłużymy się tożsamościami  

Dzieląc licznik i mianownik przez   i przechodząc do granicy   otrzymujemy

 

gdzie   są pochodnymi względem parametru   liczonymi w punkcie  

Przez punkty   poprowadzimy dwie normalne o równaniach

 

Rozwiązaniem tych równań są współrzędne   punktu   w którym przecinają się proste normalne

 

gdzie:

 

Licznik i mianownik ułamka dzielimy przez   i po przejściu do granicy   otrzymujemy współrzędne środka   krzywizny krzywej w jej punkcie  

 

Promień krzywizny   równy jest odległości punktów   i  

 
 

Krzywa jako funkcja uwikłanaEdytuj

Dana jest krzywa[1] o równaniu   gdzie   jest funkcją ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi dwu pierwszych rzędów w otoczeniu punktu  

Jeżeli   to w otoczeniu punktu   można funkcji   nadać postać   gdzie   i mamy

 

Równanie stycznej do krzywej   przybiera teraz postać

 

a równania normalnych w punktach  

 
 

Po wprowadzeniu oznaczeń  

rozwiązanie tych równań ma postać

 
 

Po przejściu do granicy   otrzymujemy

 

gdzie:

 

Promień krzywizny wyraża się wzorem

 
 

PrzykładyEdytuj

Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:

 

Wartości poszczególnych pochodnych:

 
 
 
 

Krzywizna jako funkcja parametru  

 

W szczególności dla okręgu   krzywizna nie zależy od parametru  

 

Natomiast dla elipsy   krzywizna zależy od parametru  

 
Uwaga

W ogólnym przypadku   krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie   dla których  ).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1954.