Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtoswydęty) – jedna z miar spłaszczenia rozkładu wartości cechy. Definiuje się ją następującym wzorem:

gdzie:

– czwarty moment centralny,
odchylenie standardowe.

UwagaEdytuj

W niektórych pracach, szczególnie starszych, można spotkać się ze wzorem na kurtozę, w którym nie odejmuje się od ułamka liczby 3. Nowa definicja kurtozy jest jednak wygodniejsza, gdyż:

  • kurtoza rozkładu normalnego wynosi 0
  • jeśli   jest sumą   niezależnych zmiennych losowych, każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej   zachodzi własność:  

Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:

  • mezokurtyczne (rozkład normalny K = 0) – wartość kurtozy wynosi 0, spłaszczenie rozkładu jest podobne do spłaszczenia rozkładu normalnego (dla którego kurtoza wynosi dokładnie 0)
  • leptokurtyczne (rozkład wysmukły K > 0) – kurtoza jest dodatnia, wartości cechy bardziej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym
  • platokurtyczne (rozkład spłaszczony K < 0) – kurtoza jest ujemna, wartości cechy mniej skoncentrowane niż przy rozkładzie normalnym

Kurtoza z próby wyraża się wzorem:

 

gdzie:

  -ta wartość cechy,
  – wartość oczekiwana w populacji,
  – odchylenie standardowe w populacji,
  – liczebność próby.

Powyższa statystyka jest obciążonym estymatorem kurtozy z populacji, estymator nieobciążony wyraża się wzorem:

 

gdzie:

  – średnia z próby,
  – odchylenie standardowe z próby,
  – kolejne wartości cechy,
  – liczebność próby.

Obliczenie kurtozy dla rozkładu normalnegoEdytuj

Niech:

 
  – kurtoza,
  – moment centralny n–tego rzędu,
  – moment zwykły n–tego rzędu,
 

Wiadomo, że w rozkładzie normalnym:

 
 

Mamy:

a)
 
b)
 

Obliczamy momenty zwykłe:

 

 
 

 

 

 

 
 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczone wartości:

 
 
 

podstawiamy do wzoru na czwarty moment centralny z punktu b):

 

Stąd kurtoza jest równa:

 

Zobacz teżEdytuj