Kurtoza (z gr. κυρτός, kyrtos, kurtoswydęty) – jedna z miar kształtu rozkładu wartości cechy. Definiuje się ją następującym wzorem:

gdzie:

– czwarty moment centralny,
odchylenie standardowe.

UwagaEdytuj

W niektórych pracach, szczególnie starszych, można spotkać się ze wzorem na kurtozę, w którym nie odejmuje się od ułamka liczby 3. Nowa definicja kurtozy (ang. excess kurtosis) jest jednak wygodniejsza, gdyż:

  • kurtoza rozkładu normalnego wynosi 0
  • jeśli   jest sumą   niezależnych zmiennych losowych, każdej o rozkładzie identycznym z rozkładem zmiennej losowej   zachodzi własność:  

Wbrew stwierdzeniom obecnym w niektórych podręcznikach, kurtoza nie mierzy "spłaszczenia", "wysmukłości" ani "spiczastości" rozkładu. Na kurtozę ma wpływ intensywność występowania wartości skrajnych, mierzy więc ona, co się dzieje w "ogonach" rozkładu, natomiast kształt "czubka" rozkładu jest praktycznie bez znaczenia[1].

Rozkłady prawdopodobieństwa można podzielić ze względu na wartość kurtozy na rozkłady:

  • mezokurtyczne (K = 0) – wartość kurtozy wynosi 0, intensywność wartości skrajnych jest podobna do intensywności wartości skrajnych rozkładu normalnego (dla którego kurtoza wynosi dokładnie 0)
  • leptokurtyczne (K > 0) – kurtoza jest dodatnia, intensywność wartości skrajnych jest większa niż dla rozkładu normalnego („ogony“ rozkładu są „grubsze“)
  • platykurtyczne (K < 0) – kurtoza jest ujemna, intensywność wartości skrajnych jest mniejsza niż w przypadku rozkładu normalnego („ogony“ rozkładu są „węższe“).

Kurtoza z próby wyraża się wzorem:

 

gdzie:

  -ta wartość cechy,
  – wartość oczekiwana w populacji,
  – odchylenie standardowe w populacji,
  – liczebność próby.

Powyższa statystyka jest obciążonym estymatorem kurtozy z populacji, estymator nieobciążony wyraża się wzorem:

 

gdzie:

  – średnia z próby,
  – odchylenie standardowe z próby,
  – kolejne wartości cechy,
  – liczebność próby.

Obliczenie kurtozy dla rozkładu normalnegoEdytuj

 

DowódEdytuj

Niech:

 
 ,
  – moment centralny n–tego rzędu,
  – moment zwykły n–tego rzędu,
Dystrybuanta rozkładu normalnego oraz gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego to odpowiednio:
 

Wiadomo, że w rozkładzie normalnym:

 
 

Mamy:

a)
 
b)
 

Obliczamy momenty zwykłe:

 

 
 

 

 

 

 
 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczone wartości:

 
 
 

podstawiamy do wzoru na czwarty moment centralny z punktu b):

 

Stąd kurtoza jest równa:

 

PrzypisyEdytuj

  1. Peter H. WESTFALL, Kurtosis as Peakedness, 1905 – 2014. R.I.P., „The American statistician”, 68 (3), 2014, s. 191–195, DOI10.1080/00031305.2014.917055, ISSN 0003-1305, PMID25678714, PMCIDPMC4321753 [dostęp 2021-03-15].

Zobacz teżEdytuj