Kwadratury Gaussa – metody całkowania numerycznego polegające na takim wyborze wag
w
1
,
w
2
,
…
,
w
n
{\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}
interpolacji
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\in [a,b]}
∑
i
=
1
n
w
i
f
(
t
i
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i})}
najlepiej przybliżało całkę
I
(
f
)
=
∫
a
b
w
(
x
)
f
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle I(f)=\int \limits _{a}^{b}w(x)f(x)dx,}
gdzie
f
{\displaystyle f}
funkcją określoną na odcinku
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle [a,b],}
w
{\displaystyle w}
funkcją wagową spełniającą warunki
w
(
x
)
⩾
0
,
{\displaystyle w(x)\geqslant 0,}
∀
k
∈
N
∫
a
b
x
k
w
(
x
)
d
x
{\displaystyle \forall _{k\in \mathbb {N} }\int \limits _{a}^{b}x^{k}w(x)dx}
Jeżeli
p
{\displaystyle p}
wielomianem takim, że
∀
x
∈
[
a
,
b
]
p
(
x
)
⩾
0
,
{\displaystyle \forall _{x\in [a,b]}\;p(x)\geqslant 0,}
∫
a
b
w
(
x
)
p
(
x
)
d
x
=
0
,
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}w(x)p(x)dx=0,}
p
≡
0.
{\displaystyle p\equiv 0.}
Określmy iloczyn skalarny z wagą
⟨
f
,
g
⟩
w
=
∫
a
b
w
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int \limits _{a}^{b}w(x)f(x)g(x)dx.}
Powiemy, że dwa wielomiany są ortogonalne względem tego iloczynu skalarnego , jeśli
⟨
f
,
g
⟩
w
=
0.
{\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=0.}
Wszystkie kwadratury Gaussa wywodzą się z twierdzenia udowodnionego przez niego:
a) Jeżeli
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\in [a,b]}
n -tego wielomianu ortogonalnego
p
n
(
x
)
{\displaystyle p_{n}(x)}
w
1
,
w
2
,
…
,
w
n
{\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}
układu równań :
{
p
0
(
t
1
)
w
1
+
…
+
p
0
(
t
n
)
w
n
=
⟨
p
0
,
p
0
⟩
w
p
1
(
t
1
)
w
1
+
…
+
p
1
(
t
n
)
w
n
=
0
⋮
⋮
⋮
p
n
−
1
(
t
1
)
w
1
+
…
+
p
n
−
1
(
t
n
)
w
n
=
0
,
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}p_{0}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{0}(t_{n})w_{n}=&\langle p_{0},p_{0}\rangle _{w}\\p_{1}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{1}(t_{n})w_{n}=&0\\\vdots &&\vdots &\vdots \\p_{n-1}(t_{1})w_{1}+&\ldots &+p_{n-1}(t_{n})w_{n}=&0\end{matrix}}\right.,}
to dla każdego wielomianu
p
{\displaystyle p}
2
n
−
1
{\displaystyle 2n-1}
∫
a
b
w
(
x
)
p
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
n
w
i
p
(
t
i
)
.
(
∗
)
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}w(x)p(x)dx=\sum _{i=1}^{n}w_{i}p(t_{i}).\qquad (*)}
Ponadto
w
i
>
0.
{\displaystyle w_{i}>0.}
b) Jeżeli dla pewnego ciągu węzłów
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]}
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}
p
{\displaystyle p}
2
n
−
1
{\displaystyle 2n-1}
x
i
=
t
i
{\displaystyle x_{i}=t_{i}}
v
i
=
w
i
{\displaystyle v_{i}=w_{i}}
c) Dla dowolnego ciągu węzłów
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]}
v
1
,
v
2
,
…
,
v
n
{\displaystyle v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}}
Kwadratury z przedziału
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
w
≡
1
{\displaystyle w\equiv 1}
kwadraturami Gaussa-Legendre’a
I
(
f
)
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
∑
i
=
1
n
w
i
f
(
t
i
)
,
{\displaystyle I(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}
gdzie
t
i
{\displaystyle t_{i}}
pierwiastki i-tego wielomianu Legendre’a .
Kwadratury z wagą
w
(
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
kwadraturami Gaussa-Czebyszewa
I
(
f
)
=
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
1
−
x
2
≈
∑
i
=
1
n
w
i
f
(
t
i
)
,
{\displaystyle I(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}
gdzie
t
i
{\displaystyle t_{i}}
wielomianu Czebyszewa .
Kwadratury z wagą
w
(
x
)
=
e
−
x
2
{\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}
kwadraturami Gaussa-Hermite’a
I
(
f
)
=
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
f
(
x
)
d
x
≈
∑
i
=
1
n
w
i
f
(
t
i
)
,
{\displaystyle I(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}
gdzie
t
i
{\displaystyle t_{i}}
wielomianu Hermite’a .
Kwadratury z wagą
w
(
x
)
=
e
−
x
{\displaystyle w(x)=e^{-x}}
kwadraturami Gaussa-Laguerre’a
I
(
f
)
=
∫
0
∞
e
−
x
f
(
x
)
d
x
≈
∑
i
=
1
n
w
i
f
(
t
i
)
,
{\displaystyle I(f)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}),}
gdzie
t
i
{\displaystyle t_{i}}
wielomianu Laguerre’a .
Kwadratury z wagą
w
(
x
)
=
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
{\displaystyle w(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}
kwadraturami Gaussa-Jacobiego
I
(
f
)
=
∫
−
1
1
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
f
(
x
)
d
x
≈
∑
i
=
1
n
w
i
f
(
t
i
)
.
{\displaystyle I(f)=\int \limits _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(t_{i}).}
![{\displaystyle t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f018bd4addb3c57b98a4853d8f4a0e740def29f2)
![{\displaystyle [a,b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d493b840f8326ba81ff9d95b4edf1effd5f2842)
![{\displaystyle \forall _{x\in [a,b]}\;p(x)\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b661421338a89ad0d056f6c2bb59df327072e702)
![{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df22c48c2c827e30fa634d0964908f94af232750)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
