Kwantyfikator ogólny

Kwantyfikator ogólny, kwantyfikator duży, kwantyfikator uniwersalny – kwantyfikator oznaczający, że dane twierdzenie (funkcja zdaniowa) jest prawdziwe dla dowolnej wartości zmiennej.

Stosuje się dwie postacie graficzne:

$\forall x:\phi (x)$ (odwrócona litera A; zapis ten jest związany z angielskim zwrotem „for all”)

oraz:

$\bigwedge _{x}\phi (x).$

W obu przypadkach czyta się „dla każdego $x$ zachodzi $\phi (x)$”.

Gdy formuła wymaga ustalenia zakresu dla zmiennej, np.:

$\forall x:(x\in \mathbb {A} \implies \phi (x)),$

$\bigwedge _{x}(x\in \mathbb {A} \implies \phi (x)),$

to używa się uproszczonej notacji:

$\forall x\in \mathbb {A} :\phi (x),$

$\bigwedge _{x\in \mathbb {A} }\phi (x)$

i czyta się „dla każdego $x$ należącego do zbioru $\mathbb {A}$ zachodzi $\phi (x)$”.

Jeżeli $X=\{x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}\}$ jest skończonym podzbiorem (niekoniecznie właściwym) argumentów $\phi (x)$ to:

$\forall x\in \mathbb {X} :\phi (x)\equiv \phi (x_{0})\land \phi (x_{1})\land \ldots \land \phi (x_{n}).$

Zanegowany kwantyfikator ogólny staje się kwantyfikatorem egzystencjalnym i na odwrót:

$\neg \forall x:\phi (x)\equiv \exists x:\neg \phi (x),$

$\neg \exists x:\phi (x)\equiv \forall x:\neg \phi (x).$

Generalnie, jeśli coś zachodzi „dla każdego $x$”, to istnieje takie $x,$ że to zachodzi. Mamy więc implikację:

$\forall x:\phi (x)\implies \exists x:\phi (x).$

Wyjątkiem są uniwersa puste, w których nie istnieje żaden obiekt. W takim wypadku dla każdego $x$ zachodzi cokolwiek – z fałszem włącznie – bo nie możemy przecież znaleźć żadnego $x,$ dla którego można by wykazać sprzeczność. Z tego powodu zwykle z góry wyklucza się uniwersa puste i zakłada się, że „coś istnieje”. Badaniem struktur z pustymi uniwersami zajmuje się logika wolna.

Zobacz też

• kwantyfikator egzystencjalny
• lista symboli matematycznych