Lemat Barbălata

Lemat Barbălata – twierdzenie analizy matematycznej udowodnione w 1959 przez Ioana Barbălata[1], które mówi, że jeżeli funkcja

jest jednostajnie ciągła oraz całka niewłaściwa

istnieje i jest skończona, to

[2][3][4].

DowódEdytuj

Rozumując nie wprost: niech   nie zbiega do   gdy   Oznacza to, że dla pewnego   oraz wszelkich   istnieje takie   że

 

Niech   będzie liczbą odpowiadającą   w definicji jednostajnej ciągłości, którą spełnia z założenia   Oznacza to, że

 

o ile tylko

 

Stąd dla wszelkich   zachodzi

 
(1)

co wobec dodatniości   oznacza

 
(2)

Z jednej strony więc

 

przy równość (*) wynika stąd, że funkcja   w przedziale   nie zmienia znaku; gdyby bowiem zmieniała, to jako funkcja ciągła musiałaby, wbrew wykazanej zależności (2), osiągać w pewnym punkcie przedziału wartość 0 (zob. własność Darboux). Nierówność (**) wynika bezpośrednio z (1).

Z drugiej jednak strony,

 

co prowadzi do sprzeczności[5].

UogólnienieEdytuj

G. Tao udowodnił, że teza lematu zachodzi także dla funkcji różniczkowalnych z przestrzeni   których pochodna należy do  [6].

PrzypisyEdytuj

  1. I. Barbălat, Systèmes d’équations différentielles d’oscillations non Linéaires, Rev. Math. Pures Appl. 4 (1959), 267–270.
  2. Khalil 1992 ↓, s. 192.
  3. Popov 1973 ↓, s. 211.
  4. Slotine i Li 1991 ↓, s. 124.
  5. Slotine i Li 1991 ↓, s. 125.
  6. G. Tao, A simple alternative to the Barbălat Lemma, IEEE Trans. Automat. Control, 42 (1997), no. 5, 698.

BibliografiaEdytuj

  • B. Farkas, S.-A. Wegner, Variations on Barbălat’s Lemma, The American Mathematical Monthly 123(8) (2014) 825–830.
  • H.K. Khalil, Nonlinear Systems, Macmillan Publishing Company, New York, 1992.
  • V.M. Popov, Hyperstability of Control Systems, Springer-Verlag, New York, 1973.
  • J.-J.E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control, Englewood Cliffs, New Jersey, 1991.