Lemat Barbălata – twierdzenie analizy matematycznej udowodnione w 1959 przez Ioana Barbălata[1] , które mówi, że jeżeli funkcja
f
:
[
a
,
∞
)
→
R
{\displaystyle f\colon [a,\infty )\to \mathbb {R} }
jest jednostajnie ciągła oraz całka niewłaściwa
I
=
∫
a
∞
f
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle I=\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau }
istnieje i jest skończona, to
lim
t
→
∞
f
(
t
)
=
0
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=0}
[2] [3] [4] .
Rozumując nie wprost : niech
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
nie zbiega do
0
,
{\displaystyle 0,}
gdy
t
→
∞
.
{\displaystyle t\to \infty .}
Oznacza to, że dla pewnego
ε
0
>
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}>0}
oraz wszelkich
n
>
0
{\displaystyle n>0}
istnieje takie
t
n
>
n
,
{\displaystyle t_{n}>n,}
że
|
f
(
t
n
)
|
⩾
ε
0
.
{\displaystyle {\Big |}f(t_{n}){\Big |}\geqslant \varepsilon _{0}.}
Niech
δ
{\displaystyle \delta }
będzie liczbą odpowiadającą
ε
0
2
{\displaystyle {\frac {\varepsilon _{0}}{2}}}
w definicji jednostajnej ciągłości, którą spełnia z założenia
f
.
{\displaystyle f.}
Oznacza to, że
|
f
(
t
)
−
f
(
t
n
)
|
⩽
ε
0
2
,
{\displaystyle {\Big |}f(t)-f(t_{n}){\Big |}\leqslant {\frac {\varepsilon _{0}}{2}},}
o ile tylko
|
t
−
t
n
|
<
δ
.
{\displaystyle |t-t_{n}|<\delta .}
Stąd dla wszelkich
t
∈
[
t
n
,
t
n
+
δ
]
{\displaystyle t\in [t_{n},t_{n}+\delta ]}
zachodzi
|
f
(
t
)
|
=
|
f
(
t
n
)
−
(
f
(
t
n
)
−
f
(
t
)
)
|
⩾
|
f
(
t
n
)
|
−
|
f
(
t
n
)
−
f
(
t
)
|
⩾
|
f
(
t
n
)
|
−
ε
0
2
⩾
ε
0
−
ε
0
2
=
ε
0
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\Big |}f(t){\Big |}&={\Big |}f(t_{n})-{\big (}f(t_{n})-f(t){\big )}{\Big |}\\&\geqslant {\Big |}f(t_{n}){\Big |}-{\Big |}f(t_{n})-f(t){\Big |}\\&\geqslant {\Big |}f(t_{n}){\Big |}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\\&\geqslant \varepsilon _{0}-{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}={\frac {\varepsilon _{0}}{2}},\end{aligned}}}
(1)
co wobec dodatniości
ε
0
{\displaystyle \varepsilon _{0}}
oznacza
|
f
(
t
)
|
>
0.
{\displaystyle {\Big |}f(t){\Big |}>0.}
(2)
Z jednej strony więc
|
∫
a
t
n
+
δ
f
(
τ
)
d
τ
−
∫
a
t
n
f
(
τ
)
d
τ
|
=
|
∫
t
n
t
n
+
δ
f
(
τ
)
d
τ
|
=
(
∗
)
∫
t
n
t
n
+
δ
|
f
(
τ
)
|
d
τ
⩾
(
∗
∗
)
∫
t
n
t
n
+
δ
ε
0
2
d
τ
=
ε
0
2
⋅
δ
>
0
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|&=\left|\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\&\ {\stackrel {(*)}{=}}\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }{\Big |}f(\tau ){\Big |}\,\mathrm {d} \tau \\&\ {\stackrel {(**)}{\geqslant }}\int \limits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }{\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\,\mathrm {d} \tau \\&={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}\cdot \delta >0,\end{aligned}}}
przy równość (*) wynika stąd, że funkcja
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
w przedziale
[
t
n
,
t
n
+
δ
]
{\displaystyle [t_{n},t_{n}+\delta ]}
nie zmienia znaku; gdyby bowiem zmieniała, to jako funkcja ciągła musiałaby, wbrew wykazanej zależności (2) , osiągać w pewnym punkcie przedziału wartość 0 (zob. własność Darboux ). Nierówność (**) wynika bezpośrednio z (1) .
Z drugiej jednak strony,
lim
n
→
∞
|
∫
a
t
n
+
δ
f
(
τ
)
d
τ
−
∫
a
t
n
f
(
τ
)
d
τ
|
=
|
lim
n
→
∞
∫
a
t
n
+
δ
f
(
τ
)
d
τ
−
lim
n
→
∞
∫
a
t
n
f
(
τ
)
d
τ
|
=
|
∫
a
∞
f
(
τ
)
d
τ
−
∫
a
∞
f
(
τ
)
d
τ
|
=
|
I
−
I
|
=
0
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{n\to \infty }\left|\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&\left|\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{t_{n}+\delta }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\lim _{n\to \infty }\int \limits _{a}^{t_{n}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&\left|\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau -\int \limits _{a}^{\infty }f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right|\\[1ex]={}&|I-I|=0,\end{aligned}}}
co prowadzi do sprzeczności[5] .
G. Tao udowodnił, że teza lematu zachodzi także dla funkcji różniczkowalnych z przestrzeni
L
2
(
[
0
,
∞
)
)
,
{\displaystyle L_{2}([0,\infty )),}
których pochodna należy do
L
∞
(
[
0
,
∞
)
)
{\displaystyle L_{\infty }([0,\infty ))}
[6] .
↑ I. Barbălat, Systèmes d’équations différentielles d’oscillations non Linéaires, Rev. Math. Pures Appl. 4 (1959), 267–270.
↑ Khalil 1992 ↓ , s. 192.
↑ Popov 1973 ↓ , s. 211.
↑ Slotine i Li 1991 ↓ , s. 124.
↑ Slotine i Li 1991 ↓ , s. 125.
↑ G. Tao, A simple alternative to the Barbălat Lemma, IEEE Trans. Automat. Control , 42 (1997), no. 5, 698.
Bibliografia
edytuj
B. Farkas, S.-A. Wegner, Variations on Barbălat’s Lemma , The American Mathematical Monthly 123 (8) (2014) 825–830.
H.K. Khalil, Nonlinear Systems , Macmillan Publishing Company, New York, 1992.
V.M. Popov, Hyperstability of Control Systems , Springer-Verlag, New York, 1973.
J.-J.E. Slotine, W. Li, Applied Nonlinear Control, Englewood Cliffs, New Jersey, 1991.