Otwórz menu główne

Lemat Kuratowskiego-Zorna

Lemat Kuratowskiego-Zornatwierdzenie teorii mnogości, nazywane zwyczajowo lematem, dające pewien warunek dostateczny istnienia elementu maksymalnego w danym zbiorze częściowo uporządkowanym; znajduje ono wiele zastosowań w pozostałych działach matematyki, gdzie wykorzystywane jest w dowodach istnienia różnych obiektów (gdy szukany element, którego istnienie jest postulowane, jest maksymalnym w pewnym zbiorze z częściowym porządkiem).

Lemat ten został sformułowany przez Kazimierza Kuratowskiego w 1922 roku oraz niezależnie przez Maxa Zorna w 1935 roku; na świecie wynik ten jest znany jako lemat Zorna, jedynie w Polsce i Rosji nazywany jest lematem Kuratowskiego-Zorna. Jest on równoważny aksjomatowi wyboru – każdy z nich można udowodnić przy pomocy drugiego (z użyciem aksjomatów Zermela-Fraenkla teorii mnogości) – przy czym jest to jedna z bardziej użytecznych jego postaci (zob. pozostałe). Istnieją również dowody wykorzystujące równoważniki aksjomatu wyboru, np. twierdzenie Zermela, czy twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym.

MotywacjaEdytuj

Niekiedy zachodzi potrzeba udowodnienia istnienia[a] obiektu matematycznego (który można postrzegać jako element maksymalny pewnego zbioru częściowo uporządkowanego. Dowód istnienia takiego obiektu można próbować przeprowadzić nie wprost zakładając, że nie ma elementu maksymalnego, wykorzystując przy tym indukcję pozaskończoną oraz założenia sytuacyjne, by uzyskać sprzeczność. Lemat Kuratowskiego-Zorna służy klaruje założenia, które muszą być spełnione w danej sytuacji, aby można było zastosować takie rozumowanie. Tym samym lemat Kuratowskiego-Zorna umożliwia matematykom wyzbycie się konieczności każdorazowego powtarzania rozumowania indukcyjnego na rzecz sprawdzenia założeń lematu.

Jeśli konstruując obiekt matematyczny etapami okazuje się, że (i) nie skończyłeś nawet po nieskończenie wielu etapach oraz (ii) zdaje się, że nie ma nic, co mogło by powstrzymać cię przed dalszym budowaniem, wówczas pomocny może okazać się lemat Kuratowskiego-Zorna.
— William Timothy Gowers, Jak używać lematu Kuratowskiego-Zorna[1]

TwierdzenieEdytuj

Zbiór   nazywa się częściowo uporządkowanym przez (dwuargumentową) relację   (tzw. częściowy porządek), jeśli jest ona zwrotna ( ), antysymetryczna (  oraz   pociągają  ) i przechodnia (  oraz   pociągają  ); jeśli   to element   nazywa się późniejszym od   (a element   nazywa się wcześniejszym od  ).

Podzbiór   zbioru   nazywa się liniowo uporządkowanym, jeżeli dowolne jego dwa elementy można porównać za pomocą relacji   zbiór   nazywa się wtedy łańcuchem w   Element   nazywa się ograniczeniem górnym łańcucha   jeśli element   jest późniejszy od jakiegokolwiek innego elementu tego łańcucha.

Zbiór częściowo uporządkowany, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie górne, nazywa się łańcuchowo zupełnym; element   nazywa się maksymalnym w zbiorze   jeśli   pociąga   dla dowolnego  

Twierdzenie Kuratowskiego-Zorna
W dowolnym niepustym zbiorze łańcuchowo zupełnym istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny.
Wniosek
W dowolnej niepustej rodzinie zbiorów częściowo uporządkowanej relacją zawierania, do której należy suma każdego jej niepustego łańcucha, istnieje element maksymalny[b].

UwagiEdytuj

  1. Zob. filozofia matematyki oraz Bartol 1996 ↓.
  2. Jeśli   jest łańcuchem w rodzinie   jak w założeniu, to   zawiera każdy ze zbiorów tego łańcucha; stąd jeśli   to zbiór ten jest ograniczeniem górnym łańcucha   w   W ten sposób spełnione są założenia lematu Kuratowskiego-Zorna: ograniczeniem górnym dowolnego niepustego łańcucha   jest jego suma, zaś pustego – przez dowolny element   czyli w rodzinie   istnieje element maksymalny.

PrzypisyEdytuj

  1. William Timothy Gowers: How to use Zorn’s lemma. 2008-08-12. [dostęp 2019-10-29]. Cytat: If you are building a mathematical object in stages and find that (i) you have not finished even after infinitely many stages, and (ii) there seems to be nothing to stop you continuing to build, then Zorn’s lemma may well be able to help you.

BibliografiaEdytuj