Lematy Borela-Cantellego

Lematy Borela-Cantellego[1]lematy dotyczące ciągów zdarzeń losowych, wykorzystywane m.in. w dowodzie mocnej wersji prawa wielkich liczb.

Niech będzie nieskończonym ciągiem zdarzeń w danej przestrzeni probabilistycznej

Pierwszy lemat Borela-CantellegoEdytuj

Jeśli szereg prawdopodobieństw zdarzeń   jest zbieżny, tj.

 

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń   wynosi 0, tj.

 

DowódEdytuj

  • Niech  
  • Korzystając z własności miary:
 
  • Również z własności miary otrzymujemy nierówność:
 
  • Niech   Z założenia   więc szereg jest zbieżny.
  • Zauważmy, że:  
  •  
  • Korzystając z   oraz twierdzenia o trzech ciągach:
 
  • Kończy to dowód, bo:  

Drugi lemat Borela-CantellegoEdytuj

Jeśli zdarzenia  niezależne i szereg ich prawdopodobieństw jest rozbieżny, tj.

 

wtedy prawdopodobieństwo zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń   wynosi 1, tj.

 

DowódEdytuj

  • Niech  
  • Korzystając z własności miary:
 
  • Zapiszmy   w postaci:  
  • Niech  
  • Korzystając ponownie z własności miary:
 
  • Zauważmy, że   gdzie  
  •  
Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że  
  • Zauważmy:  
  •  
  • Więc z twierdzenia o trzech ciągach:  
  • I ostatecznie  

WniosekEdytuj

  • Jeżeli zdarzenia  niezależne to dla zdarzenia   zachodzi warunek:
 

PrzykładEdytuj

Rozważmy nieskończone ciągi rzutów monetą symetryczną. Niech   oznacza zdarzenie polegające na tym, że  -ty,   i   rzuty dały odpowiednio orła, reszkę i orła. Oczywiście zdarzenia   nie są niezależne, ale zdarzenia   są.

Każde zdarzenie   ma prawdopodobieństwo 1/8, więc szereg prawdopodobieństw tych zdarzeń jest rozbieżny. Z drugiego lematu Borela-Cantellego wnosimy więc, że z prawdopodobieństwem 1 sekwencja orzeł, reszka, orzeł wystąpi w niekończonym ciągu rzutów nieskończenie wiele razy.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Nie Cantelliego, lecz Cantellego, zobacz poradnia językowa PWN – nie ma tego hasła w poradni, ale jest: Bernoulliego, a nie Bernoullego [1].

BibliografiaEdytuj

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Wyd. II. Warszawa: SCRIPT, 2001. ISBN 83-904564-5-1.