Liczba epsilonowa

Ten artykuł jest częścią serii
Historia oznaczeń
matematycznych
Rhind Mathematical Papyrus.jpg

Symbol działania
+ i −
=
<, >, ≤, ≥,⩽, ⩾, ≦, ≧, ≠
znak nieskończoności
ułamki zwykłe
separator dziesiętny
moduł
znak epsilon

Według działów
matematyki

analiza matematyczna
rachunek różniczkowy i całkowy
logika
teoria grafów
teoria liczb

Stałe matematyczne
Edytuj szablon

Liczba epsilonowaliczba porządkowa o tej własności, że

Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba

Liczba jest przeliczalna – ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych, na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina. Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:

WłasnościEdytuj

  • Liczba   jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba   jest przeliczalna.
  • Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
  • Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.
  • Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli   jest liczbą epsilonową oraz   to  
  • Jeśli   jest liczbą epsilonową, to
(a)   dla każdej liczby  
(b)   dla każdej liczby  
(c)   dla każdej liczby  

ZastosowaniaEdytuj

  • Dowód twierdzenia Goodsteina.
  • Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych   takich, że   (zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność ma jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej   (zob. arytmetyka liczb porządkowych) zachodzi równość   Istotnie,   Jeśli   jest dowolną liczbą epsilonową, to dla   oraz   para   ma żądaną własność. Istotnie:
 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj