Liczba epsilonowa
Ten artykuł jest częścią serii Historia oznaczeń matematycznych |
Symbol działania |
Według działów |
Stałe matematyczne |
Edytuj szablon |
Liczba epsilonowa – liczba porządkowa o tej własności, że
Najmniejszą liczbą epsilonową jest liczba
Liczba jest przeliczalna – ma ona zastosowanie w wielu dowodach pozaskończonych, na przykład w dowodzie twierdzenia Goodsteina. Kolejne liczby epsilonowe indeksujemy kolejnymi liczbami porządkowymi, na przykład:
WłasnościEdytuj
- Liczba jest przeliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jest przeliczalna.
- Każda nieprzeliczalna liczba kardynalna jest liczbą epsilonową.
- Suma (mnogościowa) dowolnej niepustej rodziny liczb epsilonowych jest liczbą epsilonową.
- Każda liczba epsilonowa jest nierozkładalna, to znaczy jeśli jest liczbą epsilonową oraz to
- Jeśli jest liczbą epsilonową, to
- (a) dla każdej liczby
- (b) dla każdej liczby
- (c) dla każdej liczby
ZastosowaniaEdytuj
- Dowód twierdzenia Goodsteina.
- Liczby epsilonowe można zastosować do uzasadnienia następującego twierdzenia: istnieje nieskończenie wiele par liczb porządkowych takich, że (zauważmy, że wśród liczb naturalnych taką własność ma jedynie pary (2,4) i (4,2)). Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby porządkowej (zob. arytmetyka liczb porządkowych) zachodzi równość Istotnie, Jeśli jest dowolną liczbą epsilonową, to dla oraz para ma żądaną własność. Istotnie:
Zobacz teżEdytuj
BibliografiaEdytuj
- Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria Mnogości. Warszawa: PWN, 2007. ISBN 978-83-01-15232-1.
- Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.