Liczba przestępna

Liczba przestępnaliczba rzeczywista lub ogólniej zespolona niebędąca liczbą algebraiczną. Uogólnieniem pojęcia liczby przestępnej jest element przestępny. Istnienie liczb przestępnych wykazał francuski matematyk Joseph Liouville w 1844 roku, podając konstruktywne dowody ich istnienia.

Liczba przestępna nie jest więc pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, tzn.:

Każda liczba przestępna jest liczbą niewymierną, bo liczby wymierne są pierwiastkami pewnych wielomianów o współczynnikach wymiernych stopnia Z kolei istnieją liczby niewymierne, które nie są przestępne, np.

Niektóre własności algebraiczneEdytuj

  • Jeśli   jest liczbą przestępną,   są algebraiczne, to wartość wyrażenia   jest przestępna.
W szczególności przestępne są:   dla   algebraicznego,   dla   algebraicznego,     dla  
Dowód
Gdyby   był liczbą algebraiczną, to zachodzi
 
Różnica   jest liczbą algebraiczną, stąd   jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach algebraicznych. Ponieważ ciało liczb algebraicznych jest algebraicznie domknięte, więc   byłby liczbą algebraiczną, wbrew założeniu.
  • Jeśli   jest liczbą przestępną, to   gdzie   także jest przestępne.
Dowód
Wystarczy tu udowodnić, że   są przestępne dla  
Gdyby   był liczbą algebraiczną, to byłby pierwiastkiem wielomianu     stąd   byłby pierwiastkiem wielomianu   wbrew założeniu.
Gbyby   był liczbą algebraiczną, to   byłby liczbą algebraiczną, bo potęga liczby algebraicznej jest liczbą algebraiczną.
Uwaga
  • Suma liczb przestępnych nie musi być przestępna. Rzeczywiście, jeśli   liczbą przestępną, przestępne są także   gdzie   jest liczbą algebraiczną. Ale   jest liczbą algebraiczną  
  • Iloczyn liczb przestępnych nie musi być przestępny. Rzeczywiście, jeśli   liczbą przestępną, przestępne są także   gdzie   jest liczbą algebraiczną. Ale   jest liczbą algebraiczną  

Przykłady liczb przestępnychEdytuj

  •   gdzie   jest liczbą algebraiczną (Hermit-Lindemann)[1]
    • e (Charles Hermite, 1873),
    •   (Ferdinand Lindemann, 1882) – przypuszczenie, że   jest algebraiczne oznacza, że   jest przestępne wbrew temu, że  
    •   dla   algebraicznego – np.   po przekształceniach   Przypuszczenie, że   jest algebraiczne oznaczałoby, że   jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach algebraicznych wbrew temu, że   jest przestępne.
    •   dla   algebraicznego – przypuszczenie, że   jest algebraiczne oznacza, że   jest przestępne wbrew temu, że   jest algebraiczne,
  •   gdzie   jest liczbą algebraiczną,   jest liczbą niewymierną algebraiczną (twierdzenie Gelfonda-Schneidera).
    •   – ponieważ   więc   jest jedną z wartości   przy czym w ostatniej potędze podstawa   jest liczbą algebraiczną różną od   i   z kolei wykładnik   jest liczbą niewymierną czyli nie jest liczbą wymierną  
    •   – ponieważ   więc   jest wymierną potęgą liczby przestępnej
  • liczby Liouville’a
    •   gdzie   jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, liczby tej postaci są przykładami liczb Liouville’a.

Własności mnogościoweEdytuj

Zbiór wszystkich liczb przestępnych jest zbiorem mocy continuum. Dowód: zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych jest zbiorem przeliczalnym. Ponieważ każdy taki wielomian ma skończenie wiele pierwiastków, istnieje co najwyżej przeliczalnie wiele liczb algebraicznych. Ale zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ma moc continuum, zatem zbiór liczb przestępnych również musi mieć moc continuum.

Zbiór liczb przestępnych rzeczywistych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych, więcej: w każdym przedziale otwartym liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych.

PrzypisyEdytuj

  1. Serge Lang: Algebra. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 525.