Otwórz menu główne

Liczba Fermataliczba naturalna postaci gdzie jest nieujemną liczbą całkowitą. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności.

Spis treści

Faktoryzacje liczb FermataEdytuj

Oto kilka początkowych liczb Fermata:

 
 
 
 
 
 
 
 

Liczby Fermata a pierwszośćEdytuj

Początkowe liczby Fermata  liczbami pierwszymi. Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby postaci   są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że  

Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie   i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

Zauważmy, że jeżeli liczba   jest liczbą pierwszą, to   musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata.

Metoda T. Pépina sprawdzania pierwszościEdytuj

W roku 1877 francuski matematyk Theophile Pépin określił metodę sprawdzania czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą.

Dla   jeśli   to   jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli  

Przykład
  • liczba  
  • zatem  
  • więc  
  •  
  • dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby  

Wzory rekurencyjneEdytuj

Liczby Fermata spełniają następujące zależności rekurencyjne:

  •  
  •  
  •  
  •  

dla  

Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu indukcji matematycznej. Z ostatniej z nich wynika twierdzenie Goldbacha:

wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze

Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata.

WłasnościEdytuj

Kilka dalszych własności liczb Fermata:

  • Jeżeli   to   (zobacz: kongruencja)
  • Jeśli   to  
  • Liczba   cyfr liczby   w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie   jest równa   (zobacz: funkcja podłoga)
  • Żadna liczba Fermata oprócz   nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych.
  • Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch  -tych potęg, gdzie   jest liczbą pierwszą większą od 2.

Więcej o liczbach pierwszych FermataEdytuj

Dowodząc, że   jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy dzielnik liczby   musi mieć postać   Dla   oznacza to, że jedynie liczby postaci   mogą dzielić   dla biegłych w arytmetyce matematyków XVIII wieku sprawdzenie, czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli   nie było żadnym problemem.

Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte:

  • Czy   jest liczbą złożoną dla  ?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?

W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla   wszystkie liczby   są złożone, jednak ich rozkłady na czynniki pierwsze znane są jedynie dla   Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest   a jednym z jej czynników pierwszych jest  

27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla   liczba Fermata ma dzielnik:  

Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza.

  • Twierdzenie Protha: Niech   gdzie   jest nieparzyste i mniejsze od   Jeżeli istnieje liczba całkowita   taka, że:
 

to   jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa kongruencja nie zachodzi oraz

  (zobacz: symbol Jacobiego),

to   jest liczbą złożoną. Jeżeli   to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy  

  • Niech   jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby   względnie pierwszej z     jest pierwiastkiem pierwotnym   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest nieresztą kwadratową  .
  • Liczba Fermata   jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:
 

Stąd nowy dowód, że   nie jest pierwsza, bowiem   Podobnie   i  

Liczby pierwsze Fermata w geometriiEdytuj

Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że  -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy   jest liczbą postaci   gdzie   są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny   i sześciokąt foremny   ale już nie siedmiokąt foremny.