Otwórz menu główne

Liczby całkowite Gaussa

Liczby pierwsze Gaussa mogą być liczbami całkowitymi, ale wiele z nich ma niezerową część urojoną. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa zostały wyróżnione kolorem zielonym.

Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) – liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako [1].

Wraz ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa tworzą, podobnie jak liczby całkowite, dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa, zazwyczaj oznaczany przez nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym, podczas gdy jest takim pierścieniem.

Elementami odwracalnymi pierścienia są: [a]. Mnożenie przez element odwracalny nie zmienia modułu liczby całkowitej Gaussa. Elementy odwracalne z działaniem mnożenia tworzą grupę czteroelementową izomorficzną grupie cyklicznej czteroelementowej. Generatorami tej grupy są oraz Grupa ta działa na i można ją interpretować geometrycznie jako grupę obrotów generowaną przez obrót dokoła początku układu współrzędnych o kąt prosty (obrót ten odpowiada mnożeniu przez ). Poza orbitą jednoelementową {0} orbity tego działania są czteroelementowe, po jednym elemencie w każdej z ćwiartek układu współrzędnych, a dokładniej w zbiorach

(I ćwiartka),
(II ćwiartka),
(III ćwiartka),
(IV ćwiartka).

Elementy pierwsze pierścienia są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa[b]. Mają one głęboki związek z liczbami pierwszymi pierścienia oraz ze starym pytaniem Diofantosa o liczby całkowite dodatnie, które można przedstawić w postaci sumy kwadratów liczb całkowitych. Liczby pierwsze w można opisać w następujący sposób:

  1. Jeśli kwadrat modułu liczby jest w liczbą pierwszą postaci (gdzie ), to jest liczbą pierwszą w Każda liczba pierwsza w postaci rozkłada się na iloczyn dwóch liczb pierwszych Gaussa.
  2. Liczba 2 jest podzielna przez kwadrat liczby pierwszej
  3. Liczba pierwsza w postaci jest liczbą pierwszą w

Każda liczba pierwsza Gaussa jest jednego z trzech powyższych typów z dokładnością do mnożenia przez element odwracalny

PrzykładyEdytuj

  • Liczby 3, 7, 11, 19 są liczbami pierwszymi Gaussa.
  • Liczbie pierwszej 5 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa  
  • Liczbie pierwszej 13 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa  
  • Liczbie pierwszej 17 odpowiadają liczby pierwsze Gaussa  
  • Ponieważ moduł iloczynu liczb zespolonych jest równy iloczynowi modułów tych liczb, więc jeśli   i   to
 

czyli dla dowolnych liczb całkowitych  

 

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Na rysunku elementy odwracalne są zaznaczone kolorem czerwonym.
  2. Na rysunku liczby pierwsze Gaussa są zaznaczone kolorem zielonym.

PrzypisyEdytuj

  1. Шнирелман Л.Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940, s. 22–29.

BibliografiaEdytuj

  • Gauss C.F.: Arithmetische Untersuchungen. New York-Chelsea: 1965.
  • Hardy G.H., Wright E.M.: An Introduction of the Theory of Numbers. Wyd. 4. New York: Oxford Uniwersity Press, 1960.
  • Шнирелман Л.Г.: Простые числа. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1940.
  • Ireland K., Rosen M.: A Classical Introduction to Modern Number Theory. New York Heidelberg Berlin: Springer Verlag, 1982.