Zbiór liczb hiperrzeczywistych można skonstruować metodą ultrapotęgi[a][4]. Podstawową strukturą, poprzez którą dokonuje się tej konstrukcji, jest ultrafiltr, czyli rodzina spełniająca warunki:
Równość liczb hiperrzeczywistych można rozumieć tak, iż zbiór indeksów, na których wyrazy obu ciągów się zgadzają, musi należeć do ultrafiltru, tzn.: oraz analogicznie dla nierówności: [9].
(Nie)zależność konstrukcji od wyboru ultrafiltruEdytuj
Przy założeniu prawdziwości hipotezy continuum, konstrukcja ciała nie zależy od wyboru ultrafiltru, tzn. wszystkie otrzymane struktury będą izomorficzne niezależnie od wybranego ultrafiltra niegłównego[1][14]. Jednak przy założeniu fałszywości hipotezy continuum, konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych zależy od wyboru ultrafiltru[1][14].
Własności ciała uporządkowanego liczb hiperrzeczywistychEdytuj
Można wykazać, że każde dwie liczby hiperrzeczywiste są porównywalne w sensie prawa trychotomii. Niech Widać, że oraz Stąd wynika, że co dowodzi stwierdzenia[13].
Można wykazać przechodniość relacji Niech oraz Widać, że oraz a także, że skąd wynika, że czyli [13].
Zatem relacja jest liniowym porządkiem[b][17][18] na Poniżej wykazana jest zgodności tego porządku z działaniem addytywnym oraz multyplikatywnym
Można wykazać zgodność porządku z dodawaniem, tzn. Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż oraz Ze zgodności naturalnego porządku z dodawaniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że a skoro to [13].
Można wykazać zgodność porządku z mnożeniem, tzn. Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż oraz Ze zgodności naturalnego porządku z mnożeniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że a skoro to [13].
Można poczynić najpierw obserwację, że co oznacza, że [22]. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to skąd wynika, że [22]. Zbiór należy do ultrafiltru zatem [22]. Zatem:
co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa[22].
Ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia jednak pewne zmodyfikowane równoważniki aksjomatu Archimedesa, jak np.:
Ponieważ [c], to Niech Wtedy istnieje takie że dla zachodzi: co stoi w sprzeczności z definicją liczby
Niech będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunek Cauchy’ego, wówczas zbiór może być skończony lub nieskończony. W tym pierwszym przypadku ciąg ten od pewnego miejsca jest ciągiem stałym. Gdy jest nieskończony, to istnieje różnowartościowy podciąg który jest ciągiem Cauchy’ego, co doprowadza do sprzeczności, jak pokazano wcześniej.
Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistychEdytuj
Można udowodnić, że co znaczy, że grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych[20][27]. Co więcej, jest to ideał maksymalny[27][31], więc struktura ilorazowa jest ciałem[31][32]. Ciało jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych [31][32].
Można również zauważyć, że:
liczba odwrotna do niezerowej liczby nieskończenie małej jest liczbą nieskończenie dużą[33];
liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała[33];
suma liczby nieskończenie dużej i nieskończenie małej jest nieskończenie duża[33];
iloczyn liczby nieskończenie małej i ograniczonej jest nieskończenie mały[33];
iloczyn liczby nieskończenie dużej i ograniczonej jest nieskończenie duży[33].
Warto zauważyć związek: [32]. To znaczy, że dla zachodzi związek dla pewnej [10].
Niech dla liczby będzie dana [10]. Zbiór nazywa się monadą[10]. Zbiór liczb ograniczonych można zapisać jako sumę nieprzeliczalnie wielu monad rzeczywistych:
To znaczy, że dwie liczby hiperrzeczywiste są nieskończenie bliskie, gdy ich różnica jest liczbą nieskończenie małą[32][33]. Relacja jest relacją równoważności[31][32][33].
Nie istnieją dwie różne liczby rzeczywiste nieskończenie bliskie sobie[33].
Dowód
Niech oraz Zauważmy, że Lecz zatem sprzeczność[33].
Dzięki temu twierdzeniu można dobrze zdefiniować część standardową liczby hiperrzeczywistej[32][34], którą można oznaczyć np. jako [10][35]. Tzn. część standardowa liczby ograniczonej to liczba spełniająca relację: [35].
co jest iloczynem liczby nieskończenie małej i sumy liczb nieskoczenie małej i ograniczonej, czyli iloczynem liczby nieskończenie małej i ograniczonej, czyli liczbą nieskończenie małą[41]. Zatem [41].
↑Przedstawiona tu konstrukcja zbioru liczb hiperrzeczywistych jako gdzie jest ultrafiltrem zawierającym filtr Frécheta, jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej konstrukcji: gdzie i są nieskończonymi zbiorami, a jest ultrafiltrem niegłównym.
↑Przy tym stwierdzeniu skorzystano z następującej definicji liniowego porządku: jest liniowym porządkiem na gdy relacja jest przechodnia oraz
↑ abcdefghijkPiotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 181.
↑Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V Elementów Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 46, 2010, s. 117–139.
↑ abcdefgPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 24.
↑ abPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 23.
↑Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 2.
↑Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
↑ abcdefghijkArne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 3.
↑ abcdePiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 25.
↑ abcdefgPiotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 184.
↑ abcdefghijkPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 26.
↑ abcPiotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 28.
↑ abcdePiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27.
↑ abAlexander Prestel, Nonstandard Analysis, Springer, New York 1995, s. 326.
↑ abcdArne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
↑Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 6.
↑Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 20.
↑Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 16–17.
↑Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 258.
↑ abcdefghijPiotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 182.
↑ abPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 29.
↑ abcdePiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
↑Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28–29.
↑Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 29.
↑ abcPiotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 187.
↑ abcdPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30.
↑ abcdPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 32.
↑ abPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28.
↑ abcPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 34.
↑ abcdPiotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 185.
↑ abcdePiotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 183.
↑ abcdefghPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 33.
↑ abcdefghijArne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.
↑ abArne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 9.
↑ abcPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 35.
↑ abArne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 5.
↑ abcdePiotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ISBN 978-83-7271-446-6, s. 186.
↑ abPiotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 38.
↑Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 12.
↑ abcdefArne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 13.
↑ abcdArne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 17.