Liczby hiperrzeczywiste

zbiór liczbowy, ciało uporządkowane

Liczby hiperrzeczywiste (niestandardowe liczby rzeczywiste[1], liczby hiperrealne[2]) – pojęcie analizy niestandardowej; niearchimedesowe rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych.

Konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych (ultrapotęga)Edytuj

Konstrukcja zbioruEdytuj

Zbiór liczb hiperrzeczywistych można skonstruować metodą ultrapotęgi[a][3]. Podstawową strukturą, poprzez którą dokonuje się tej konstrukcji, jest ultrafiltr, czyli rodzina   spełniająca warunki:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  [1][4][5][6].

Niech   będzie ultrafiltrem na   zawierającym filtr Frécheta   tzn. rodzinę  [1][4]. Niech na produkcie   będzie zdefiniowana dwuargumentowa relacja   w sposób następujący:

 [1][3][7].

Jest to relacja równoważności[1][3][7], ponieważ   jest:

  • zwrotna:  [3][7],
  • symetryczna:  [3][7],
  • przechodnia:  [3][7].

Zbiór liczb hiperrzeczywistych definiuje się jako zbiór klas abstrakcji  [3][7].

Można zauważyć, że zbiór liczb rzeczywistych   zawiera się w zbiorze liczb hiperrzeczywistych   poprzez utożsamienie  [1][8][9], tzn. ciało   jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych  [9].

Równość liczb hiperrzeczywistych można rozumieć tak, iż zbiór indeksów, na których wyrazy obu ciągów się zgadzają, musi należeć do ultrafiltru, tzn.:   oraz analogicznie dla nierówności:  [8].

Konstrukcja ciałaEdytuj

Działania na klasach abstrakcji zdefiniowane są poprzez działania na współrzędnych, tzn.:

 [7][8]
 [7][8].

Działania   i   są dobrze zdefiniowane na  [7].

Dowód

Niech   oraz   To znaczy, że   i   Zatem   Ponieważ   to  [7].

Niech   oraz   To znaczy, że   i   Zatem   Ponieważ   to  [7].  

Struktura   jest ciałem przemiennym[10][11].

Dowód

Zauważyć można, że:

  •  [10];
  •  [10];
  •  [10];
  • Niech   wtedy  [10];
  •  [10];
  •  [10];
  •  [10];
  • Dla   niech   gdzie   wtedy  [10][12];
  •  [10].  

(Nie)zależność konstrukcji od wyboru ultrafiltruEdytuj

Przy założeniu prawdziwości hipotezy continuum, konstrukcja ciała   nie zależy od wyboru ultrafiltru, tzn. wszystkie otrzymane struktury będą izomorficzne niezależnie od wybranego ultrafiltra niegłównego[1][13]. Jednak przy założeniu fałszywości hipotezy continuum, konstrukcja ciała liczb hiperrzeczywistych zależy od wyboru ultrafiltru[1][13].

Własności ciała uporządkowanego liczb hiperrzeczywistychEdytuj

Porządek liczb hiperrzeczywistychEdytuj

Niech będzie dana relacja   Jest ona dobrze zdefiniowana na  [14].

Dowód

Niech     i   To znaczy, że     oraz   Zatem   Ponieważ   to  [14].  

Ciało liczb hiperrzeczywistych jest ciałem uporządkowanym   z porządkiem zdefiniowanym następująco:

 [1][8][10][11][15].
Dowód

Można wykazać, że każde dwie liczby hiperrzeczywiste są porównywalne w sensie prawa trychotomii. Niech       Widać, że   oraz   Stąd wynika, że   co dowodzi stwierdzenia[12].

Można wykazać przechodniość relacji   Niech   oraz   Widać, że   oraz   a także, że   skąd wynika, że   czyli  [12].

Zatem relacja   jest liniowym porządkiem[b][16][17] na   Poniżej wykazana jest zgodności tego porządku z działaniem addytywnym   oraz multyplikatywnym  

Można wykazać zgodność porządku z dodawaniem, tzn.   Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż   oraz   Ze zgodności naturalnego porządku z dodawaniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że   a skoro   to  [12].

Można wykazać zgodność porządku z mnożeniem, tzn.   Widać, że z poprzednika implikacji wynika, iż   oraz   Ze zgodności naturalnego porządku z mnożeniem w ciele liczb rzeczywistych wynika, że   a skoro   to  [12].  

Moduł liczby hiperrzeczywistejEdytuj

Tak jak w każdym ciele uporządkowanym, tak i w ciele liczb hiperrzeczywistych, można zdefiniować moduł[18] jako

 [19].

Moduł liczby hiperrzeczywistej można utożsamić z klasą abstrakcji ciągu modułów, tzn.:  [20].

NiearchimedesowośćEdytuj

Ciało liczb hiperrzeczywistych jest niearchimedesowe, tzn. nie spełnia aksjomatu Archimedesa[11][19][21].

Dowód

Można poczynić najpierw obserwację, że   co oznacza, że  [21]. Lecz ponieważ ciało liczb rzeczywistych jest archimedesowe, to   skąd wynika, że  [21]. Zbiór   należy do ultrafiltru   zatem  [21]. Zatem:

 

co znaczy, że ciało to nie spełnia aksjomatu Archimedesa[21].  

Ciało liczb hiperrzeczywistych spełnia jednak pewne zmodyfikowane równoważniki aksjomatu Archimedesa, jak np.:

  •  [19][22].

Rzeczywista domkniętośćEdytuj

Ciało liczb hiperrzeczywistych   jest rzeczywiście domknięte[23].

Zupełność w sensie Cauchy’egoEdytuj

Ciało liczb hiperrzeczywistych   jest zupełne w sensie Cauchy’ego[24], tzn.:

 [24].
Dowód[24]

Rozważyć można przypadek szczególny, a mianowicie ciąg różnowartościowy   Rodzinę przedziałów otwartych

 

można uporządkować malejąco relacją inkluzji:

  gdzie  

Ponieważ  [c], to   Niech   Wtedy istnieje takie   że dla     zachodzi:   co stoi w sprzeczności z definicją liczby  

Niech   będzie dowolnym ciągiem spełniającym warunek Cauchy’ego, wówczas zbiór   może być skończony lub nieskończony. W tym pierwszym przypadku ciąg ten od pewnego miejsca jest ciągiem stałym. Gdy jest nieskończony, to istnieje różnowartościowy podciąg   który jest ciągiem Cauchy’ego, co doprowadza do sprzeczności, jak pokazano wcześniej.  

Szczególne podstruktury ciała liczb hiperrzeczywistychEdytuj

Liczby ograniczoneEdytuj

Zbiór liczb ograniczonych   definiuje się następująco:

 [19][25].

Struktura   jest pierścieniem[19][26].

Liczby nieskończenie małeEdytuj

Zbiór liczb nieskończenie małych   definiuje się następująco:

 [25].

Równoważnie, liczby nieskończenie małe można zdefiniować jako:

 [19][25],

tzn. są to liczby na moduł mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej.

Zbiór   jest różny od   ponieważ należy do niego np. liczba  [14][19].

Struktura   jest grupą[26], a   jest pierścieniem[19].

W zbiorze   nie ma liczby ani największej, ani najmniejszej[19].

Liczby nieskończenie dużeEdytuj

Zbiór liczb nieskończenie dużych   definiuje się następująco:

 [25].

Zbiór   jest niepusty, ponieważ należy do niego np. liczba  [14].

Inne podzbioryEdytuj

W naturalny sposób definiuje się takie podzbiory, jak np.

  • liczby hipernaturalne (niestandardowe liczby naturalne):  [d][1][27];
    • nieskończenie duże liczby hipernaturalne:   gdzie   rozumie się jako  [28][29].
  • liczby hiperwymierne (niestandardowe liczby wymierne):  [e][1][27].

Można wykazać pewną intuicyjną własność nieskończenie dużych liczb hipernaturalnych, a mianowicie dla  

 [28],

czyli nieskończenie duże liczby hipernaturalne to takie liczby hipernaturalne, które są większe od każdej liczby naturalnej.

Związki między strukturamiEdytuj

Można udowodnić, że   co znaczy, że grupa liczb nieskończenie małych jest ideałem w pierścieniu liczb ograniczonych[19][26]. Co więcej, jest to ideał maksymalny[26][30], więc struktura ilorazowa   jest ciałem[30][31]. Ciało   jest izomorficzne z ciałem liczb rzeczywistych  [30][31].

Można również zauważyć, że:

  • liczba odwrotna do niezerowej liczby nieskończenie małej jest liczbą nieskończenie dużą[32];
  • liczba odwrotna do liczby nieskończenie dużej jest nieskończenie mała[32];
  • suma liczby nieskończenie dużej i nieskończenie małej jest nieskończenie duża[32];
  • iloczyn liczby nieskończenie małej i ograniczonej jest nieskończenie mały[32];
  • iloczyn liczby nieskończenie dużej i ograniczonej jest nieskończenie duży[32].

Warto zauważyć związek:  [31]. To znaczy, że dla   zachodzi związek   dla pewnej  [9].

Niech dla liczby   będzie dana  [9]. Zbiór   nazywa się monadą[9]. Zbiór liczb ograniczonych można zapisać jako sumę nieprzeliczalnie wielu monad rzeczywistych:

 [9].

Inne struktury arytmetyczne i analityczne dla liczb hiperrzeczywistychEdytuj

Działania na standardowych liczbach hiperrzeczywistychEdytuj

Można zauważyć pewne pożądane własności dla standardowych liczb hiperrzeczywistych, np.:

  •   dla  
  •   dla  
  •   dla  [20].

Relacja nieskończonej bliskościEdytuj

W zbiorze liczb hiperrzeczywistych można zdefiniować dwuargumentową relację nieskończonej bliskości, a mianowicie:

 [30][31][32].

To znaczy, że dwie liczby hiperrzeczywiste są nieskończenie bliskie, gdy ich różnica jest liczbą nieskończenie małą[31][32]. Relacja   jest relacją równoważności[30][31][32].

Nie istnieją dwie różne liczby rzeczywiste nieskończenie bliskie sobie[32].

Dowód

Niech     oraz   Zauważmy, że   Lecz   zatem   sprzeczność[32].  

Twierdzenie o części standardowejEdytuj

Prawdą jest, że nieskończenie blisko liczby hiperrzeczywistej ograniczonej znajduje się dokładnie jedna liczba standardowa, tzn.:

 [31][33].

Dzięki temu twierdzeniu można dobrze zdefiniować część standardową liczby hiperrzeczywistej[31][33], którą można oznaczyć np. jako  [9][34]. Tzn. część standardowa   liczby ograniczonej   to liczba spełniająca relację:  [34].

Rozszerzone ciągi i funkcjeEdytuj

Dowolną funkcję rzeczywistą   można rozszerzyć do funkcji hiperrzeczywistej   jako klasę abstrakcji ciągu obrazów:

 [29][35][36].

Zauważmy, że „zwykłe” funkcje rzeczywiste w tej definicji pozostaną „zwykłe”:

 [29][35].

Dowolny ciąg liczb rzeczywistych   można rozszerzyć do ciągu hiperrzeczywistego   jako funkcję:

 [f][28][29][36].

Ciąg Cauchy’egoEdytuj

Ciąg rzeczywisty   jest ciągiem Cauchy’ego  [37].

Punkt skupienia ciąguEdytuj

Punkt   jest punktem skupienia ciągu    [37].

Ciągłość funkcjiEdytuj

Funkcja   jest ciągła w punkcie   gdy

 [37][38][39].
Przykład

Funkcja   jest ciągła w każdym punkcie[40].

Niech   będzie ustalonym dowolnie punktem oraz niech będzie dany   taki, że  [40]. Zatem  [40]. Zatem:

 [40].

Zatem:

 

co jest iloczynem liczby nieskończenie małej i sumy liczb nieskoczenie małej i ograniczonej, czyli iloczynem liczby nieskończenie małej i ograniczonej, czyli liczbą nieskończenie małą[40]. Zatem  [40].  

GraniceEdytuj

W ciele liczb hiperrzeczywistych można zinterpretować pojęcie granicy ciągu, a mianowicie:

 [35][37].

PochodneEdytuj

Niech   i niech   Wtedy:

 [37][38][41],

co inaczej można zapisać:

 [41].
Przykład

Dla   w dowolnym punkcie istnieje pochodna i  [41].

 [41]

UwagiEdytuj

  1. Przedstawiona tu konstrukcja zbioru liczb hiperrzeczywistych jako   gdzie   jest ultrafiltrem zawierającym filtr Frécheta, jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej konstrukcji:   gdzie   i   są nieskończonymi zbiorami, a   jest ultrafiltrem niegłównym.
  2. Przy tym stwierdzeniu skorzystano z następującej definicji liniowego porządku:   jest liniowym porządkiem na   gdy relacja   jest przechodnia oraz  
  3. Fakt ten wynika z twierdzenia o nasyceniu.
  4.  
  5.  
  6. Warto odnotować, że ciąg hiperrzeczywisty ma nieprzeliczalnie wiele wyrazów!

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e f g h i j k Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 181.
  2. Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V Elementów Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce” 46, 2010, s. 117–139.
  3. a b c d e f g Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 24.
  4. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 23.
  5. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 2.
  6. Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
  7. a b c d e f g h i j k Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 3.
  8. a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 25.
  9. a b c d e f g Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 184.
  10. a b c d e f g h i j k Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 26.
  11. a b c Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 28.
  12. a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27.
  13. a b Alexander Prestel, Nonstandard Analysis, Springer, New York 1995, s. 326.
  14. a b c d Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 4.
  15. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 6.
  16. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 20.
  17. Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 16–17.
  18. Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 258.
  19. a b c d e f g h i j Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 182.
  20. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 29.
  21. a b c d e Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 27–28.
  22. Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28–29.
  23. Piotr Błaszczyk, O ciałach uporządkowanych, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 4, 2012, ISSN 2080-9751, s. 29.
  24. a b c Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 187.
  25. a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 30.
  26. a b c d Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 32.
  27. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 28.
  28. a b c Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 34.
  29. a b c d Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 185.
  30. a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 183.
  31. a b c d e f g h Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 33.
  32. a b c d e f g h i j Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 8.
  33. a b Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 9.
  34. a b Piotr Błaszczyk, O definicji 7 z Księgi V „Elementów” Euklidesa, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”, XLVI, 2010, s. 134.
  35. a b c Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 35.
  36. a b Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 5.
  37. a b c d e Piotr Błaszczyk, Analiza filozoficzna rozprawy Richarda Dedekinda Stetigkeit und irrationale Zahlen, Wydawnictwo Naukowe Akademii Pedagogicznej, Kraków 2007, ​ISBN 978-83-7271-446-6​, s. 186.
  38. a b Piotr Błaszczyk, Joanna Major, Calculus without the concept of limit, „Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia”, 6, 2014, ISSN 2080-9751, s. 38.
  39. Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 12.
  40. a b c d e f Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 13.
  41. a b c d Arne Tobias Malkenes Ødegaard, Hyperreal Calculus, Department of Mathematics, University of Oslo, s. 17.

Linki zewnętrzneEdytuj