Liczby porządkowe

typy porządkowe dobrych porządków

Liczby porządkowe – specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków[1][2]. Są też definiowane jako typy porządkowe dobrych porządków[3].

Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Zostały one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 roku (jako typy porządkowe dobrych porządków).

Definicja formalna

edytuj

Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna.

Liczbą porządkową nazywa się każdy zbiór tranzytywny (przechodni), który jest liniowo uporządkowany przez relację   tj. bycia podzbiorem. Dokładniej, zbiór   jest liczbą porządkową, gdy:

(i) każdy element   jest podzbiorem   tzn.
 
(ii) każde dwa różne elementy zbioru   są porównywalne w relacji   tzn.
 

Z aksjomatu regularności wynika, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez relację bycia podzbiorem. W pewnych sytuacjach jednak rozważa się teorię mnogości bez tego aksjomatu (np. ZFC0) i wówczas do definicji liczby porządkowej należy dodać postulat ufundowania:

(iii) każdy niepusty podzbiór zbioru   zawiera element  -minimalny:
 

Dla liczb porządkowych   i   pisze się   gdy  

Własności i przykłady

edytuj
  • Następujące zbiory są liczbami porządkowymi:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  to zbiór wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych i zarazem najmniejsza nieprzeliczalna liczba porządkowa
 
  • Jeśli     i   są liczbami porządkowymi to:
(a)   lub   lub  
(b) jeśli   i   to  
(c)   wtedy i tylko wtedy, gdy  
(d) każdy element   jest liczbą porządkową,
(e)   jest liczbą porządkową. Liczbę tę oznacza się symbolem  
  • Jeśli   jest zbiorem liczb porządkowych, to   jest liczbą porządkową.
  • Jeśli   jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to istnieje jedyna taka liczba porządkowa   że (silne) porządki   i   są izomorficzne.
  • Jeśli   jest niepustym zbiorem liczb porządkowych, to istnieje taki   że   lub   dla wszystkich  

Jeżeli liczba porządkowa   jest postaci   dla pewnej liczby   to nazywana jest ona liczbą następnikową. Liczba, która nie jest następnikowa, nazywana jest liczbą graniczną. Liczby   i   są graniczne, a liczby   i   są następnikowe.

Paradoks Buralego-Fortiego orzeka, że nie istnieje zbiór zawierający wszystkie liczby porządkowe (sam wówczas musiałby być liczbą porządkową). W szczególności, nie istnieje największa liczba porządkowa oraz dla dowolnego zbioru istnieją liczby porządkowe do niego nie należące. Wnioskiem z tej obserwacji jest także fakt, że (por. twierdzenie Hartogsa) istnieją liczby porządkowe dowolnie dużej mocy (liczbie kardynalnej).

Liczby porządkowe jako przestrzenie topologiczne

edytuj

Każda liczba porządkowa jest przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą Hausdorffa z topologią porządkową.

Liczba porządkowa jako przestrzeń topologiczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest następnikowa; w szczególności liczby   i   są zwarte.

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj

Bibliografia

edytuj

Literatura dodatkowa

edytuj
  • Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007.
  • Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.

Linki zewnętrzne

edytuj
Polskojęzyczne
Anglojęzyczne
  • Eric W. Weisstein, Ordinal Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
  •   Ordinal number, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].