Liczby rzeczywiste

wszystkie liczby na osi, wymierne lub nie

Liczby rzeczywisteuogólnienie liczb wymiernych na wszystkie liczby odpowiadające punktom na osi liczbowej[1], zwanej też prostą rzeczywistą. Liczby rzeczywiste pozwalają opisać wszelkie odległości, liczby do nich przeciwne oraz inne wielkości skalarne. Zbiór liczb rzeczywistych oznacza się symbolem [1] lub

Oś liczbowa – interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych

Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać ułamkiem dziesiętnym, przy czym nie musi on mieć takich własności, jak dla liczb wymiernych – może jednocześnie nie być skończony ani ostatecznie okresowy[1]. Ta odpowiedniość zachodzi też w drugą stronę – każdy ułamek dziesiętny nieskończony odpowiada jakiejś liczbie rzeczywistej, przez co takie ciągi cyfr mogą być użyte do definiowania liczb rzeczywistych[1].

Zrozumienie, że ułamki zwykłe – tj. stosunki dwóch liczb naturalnych – nie wystarczą do opisu niektórych długości, przyniosła starożytność[2]. Wtedy zakon Pitagorejczyków udowodnił, że pierwiastek kwadratowy z dwójki () jest niewymierny[3]. Czasy nowożytne przyniosły rozwój matematyki wyższej, a wraz z nią:

  • nazwę liczby rzeczywiste, użytą w kontraście do liczb urojonych[4][5];
  • formalne, ścisłe definicje liczb rzeczywistych, podane niżej;
  • opisy własności tego zbioru, np. jego mocy;
  • rozmaite uogólnienia;
  • inne obiekty, które nazwano liczbami, mimo że nie leżą na osi rzeczywistej, wymienione w dalszej sekcji.

Za pomocą zbioru liczb rzeczywistych definiuje się:

Historia edytuj

Pitagorejczycy zauważyli, że przekątna kwadratu i jego bok są niewspółmierne, tj. nie istnieje odcinek, dla którego przekątna i bok byłyby naturalnymi wielokrotnościami. W dzisiejszym języku oznaczało to, że żadna liczba wymierna nie jest stosunkiem długości przekątnej kwadratu i jego boku (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2). Była to pierwsza wykryta niewymierność, pierwszą znaną klasyfikację niewymierności przeprowadził Teajtet.

Znana od czasów starożytnych liczba pi, którą definiuje się jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy, także okazała się liczbą niewymierną – udowodnił to w roku 1767 Lambert. Każda wykryta niewymierność oznaczała tzw. lukę w zbiorze liczb wymiernych. Konstrukcja liczb rzeczywistych jest wypełnieniem wszystkich możliwych luk. Za pierwszą udaną konstrukcję liczb rzeczywistych uważa się teorię proporcji Eudoksosa opisaną w Elementach Euklidesa. Chociaż pierwszą formalną definicję liczb rzeczywistych zaproponował Richard Dedekind używając liczb wymiernych oraz wprowadzonych przez siebie przekrojów[6].

Definicje i konstrukcje edytuj

Zbiór liczb rzeczywistych   można zdefiniować aksjomatycznie, jako ciało uporządkowane spełniające aksjomat ciągłości[potrzebny przypis]. Jest to struktura algebraiczna   spełniającą następujące aksjomaty:

  1.   jest ciałem,
  2.   jest porządkiem liniowym spełniającym dodatkowo warunki:
    • jeśli   to  
    • jeśli   i   to  
  3. spełniony jest aksjomat ciągłości: każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór   ma kres górny.

Ponieważ aksjomatyka nie gwarantuje istnienia obiektu spełniającego te aksjomaty, przeprowadza się konstrukcje liczb rzeczywistych biorące za punkt wyjścia liczby wymierne.

Istnieje kilka klasycznych sposobów konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych:

Z punktu widzenia topologii zbiór liczb rzeczywistych to:

Niektóre własności edytuj

Mnogościowe edytuj

Topologiczne edytuj

Naturalną metryką w zbiorze liczb rzeczywistych jest tzw. metryka euklidesowa, czyli wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb. Prosta rzeczywista wyposażona w tę metrykę jest zupełną przestrzenią metryczną. Ponadto jest ona przestrzenią ośrodkową (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych).

Rodzinę zbiorów otwartych (topologię) na prostej można określić definiując zbiory otwarte:

Zbiór   jest otwarty    

czyli zbiór jest otwarty, gdy wraz z każdym jego punktem zawiera pewien przedział otwarty zawierający ten punkt.

Bazą tej topologii jest np. rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych. Wynika stąd, że liczby rzeczywiste spełniają drugi aksjomat przeliczalności. Przestrzeń rzeczywista jest ponadto spójna i lokalnie zwarta.

Ważnymi niestandardowymi topologiami określonymi na zbiorze liczb rzeczywistych są tzw. prosta Sorgenfreya i prosta Michaela.

Reprezentacja w urządzeniach cyfrowych edytuj

Popularną, przybliżoną, komputerową reprezentacją liczby rzeczywistej jest liczba zmiennoprzecinkowa i typ zmiennoprzecinkowy. Najczęściej jest to implementacja standardu IEEE 754.

Liczby rzeczywiste mogą być reprezentowane również przez typ pozwalający obliczać ich przybliżenia z dowolną dokładnością, co umożliwia dokładną arytmetykę rzeczywistą[7][8].

Uogólnienia i liczby nierzeczywiste edytuj

Przykłady uogólnień liczb rzeczywistych to:

Poza oś rzeczywistą wykraczają także:

Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. a b c d Liczby rzeczywiste, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-21].
  2. Liczby niewymierne, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-11-26].
  3. Eric W. Weisstein, Irrational Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-11-26].
  4.   Jeff Miller, Real number [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-11-26].
  5.   Jeff Miller, Imaginary [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-11-26].
  6. Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003, s. 11. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
  7. iRRAM – a software library for exact real arithmetic. [dostęp 2021-01-03].
  8. exact-real: Exact real arithmetic. [dostęp 2021-01-03].

Linki zewnętrzne edytuj

Polskojęzyczne

  Tomasz Miller, nagrania na YouTube, kanał Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych [dostęp 2023-11-26]:

Anglojęzyczne
  •   Real number, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].