Liczby wymierne

ilorazy liczb całkowitych

Liczby wymierneliczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera[1]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych zazwyczaj oznacza się symbolem od niemieckiego słowa Quotient – iloraz lub stosunek[2]. Symbolicznie:

Definicja intuicyjna
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.
Standardowy symbol zbioru liczb wymiernych
Nieskończona macierz zawierająca wszystkie liczby wymierne pokazuje, że jest to zbiór równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Liczby wymierne są przez to uogólnieniem liczb całkowitych umożliwiającym dzielenie przez dowolną liczbę różną od zera; na liczbach wymiernych można wykonywać wszystkie cztery podstawowe działania arytmetyczne. Jest też kilka innych podstawowych własności tego zbioru:

Podstawowym uogólnieniem liczb wymiernych są liczby rzeczywiste, których ułamki dziesiętne mogą być jednocześnie nieskończone i nieokresowe[3]. Więcej informacji o liczbach wymiernych dostarcza matematyka wyższa:

Konstrukcja edytuj

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Niech w zbiorze par liczb całkowitych   których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

  wtedy i tylko wtedy, gdy  

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

  •  
  •  

Parę   zapisuje się zwykle w postaci ułamka   bądź jeśli   to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą  

Własności edytuj

Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych   istnieje liczba wymierna  
Dowód Gdyby   były wymierne, to oczywiście   spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród   jest niewymierne.
  • Jeśli   to można przyjąć  
  • Jeśli   to ponieważ   jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać   takie, że   czyli  
    Podobnie gdy   wskazujemy   i wówczas  
  • Niech więc   i niech np.   jest niewymierne.
    Dla pewnego   zachodzi   stąd  
    Z drugiej strony istnieje   takie, że   niech   będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że   Rzeczywiście, gdyby   to byłoby   Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc   wbrew temu, że   jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych   o własności  
    Ostatecznie   łącznie z warunkiem   daje
 
czyli
 
Jeśli   jest niewymierne i   wymierne, to wystarczy znaleźć   takie, że   i znaleźć jak poprzednio   spełniające   Wówczas   i  
  • Jeśli   to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie   spełniające   i wówczas  

Przypisy edytuj

  1. a b c d e f Liczby wymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-11-23].
  2. Eric W. Weisstein, Rational Number, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-11-23].
  3. a b liczby niewymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-11-23].
  4. ułamek łańcuchowy, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-11-23].
  5.   Rational number (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-11-22].

Linki zewnętrzne edytuj