Liczby wymierne

liczba

Liczby wymierneliczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera[1]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem Wobec tego:

Definicja intuicyjna
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:

Niech w zbiorze par liczb całkowitych których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

wtedy i tylko wtedy, gdy

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka bądź jeśli to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą

WłasnościEdytuj

  • Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
  • Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się  ).
  • Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych   liczby wymierne są gęste w  
Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych   istnieje liczba wymierna  
Dowód Gdyby   były wymierne, to oczywiście   spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród   jest niewymierne.
  • Jeśli   to można przyjąć  
  • Jeśli   to ponieważ   jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać   takie, że   czyli  
    Podobnie gdy   wskazujemy   i wówczas  
  • Niech więc   i niech np.   jest niewymierne.
    Dla pewnego   zachodzi   stąd  
    Z drugiej strony istnieje   takie, że   niech   będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że   Rzeczywiście, gdyby   to byłoby   Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc   wbrew temu, że   jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych   o własności  
    Ostatecznie   łącznie z warunkiem   daje
 
czyli
 
Jeśli   jest niewymierne i   wymierne, to wystarczy znaleźć   takie, że   i znaleźć jak poprzednio   spełniające   Wówczas   i  
  • Jeśli   to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie   spełniające   i wówczas  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Liczby wymierne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21].