Liniowa nierówność macierzowa

Liniowa nierówność macierzowa (ang. linear matrix inequality, LMI) – termin stosowany w teorii sterowania i optymalizacji.

Definicja

W optymalizacji wypukłej liniowa nierówność macierzowa dana jest następującym wyrażeniem:

$\operatorname {LMI} (y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\ldots +y_{m}A_{m}\geqslant 0,$

gdzie:

• $y=[y_{i}\,,~i\!=\!1,\dots ,m]$ jest wektorem liczb rzeczywistych,
• $A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}$ o wymiarach $n\times n$ są macierzami symetrycznymi $\mathbb {S} ^{n},$
• $B\geqslant 0$ to uogólniona nierówność, która oznacza, że $B$ jest macierzą półokreśloną dodatnio należącą do stożka półokreślonego dodatnio $\mathbb {S} _{+}$ w podprzestrzeni macierzy symetrycznych $\mathbb {S} .$

Liniowa nierówność macierzowa określa ograniczenia wypukłe na $y.$

Zastosowania

Istnieją efektywne metody numeryczne pozwalające na określenie czy liniowa nierówność macierzowa jest dopuszczalna (to znaczy czy istnieje taki wektor $y,$ że $LMI(y)\geqslant 0$) albo dające rozwiązanie problemu optymalizacji wypukłej z ograniczeniami dla liniowej nierówności macierzowej.

Wiele problemów optymalizacji w teorii sterowania, identyfikacji układów i przetwarzaniu sygnałów można sformułować z wykorzystaniem liniowej nierówności macierzowej. Nierówności te znajdują również zastosowanie w wielomianach będących sumą kwadratów. Prototypiczne prymalne i dualne programowanie półokreślone stanowi minimalizację rzeczywistej funkcji liniowej podlegającą odpowiednio prymalnemu i dualnemu stożkowi wypukłemu, który określa te nierównościami.

Rozwiązywanie liniowych nierówności macierzowych

Największe osiągnięcia optymalizacji wypukłej związane są z wprowadzeniem metod punktu wewnętrznego. Metody te, rozwinięte w szeregu publikacji, stały się przedmiotem zainteresowania w kontekście problemów LMI.