Liniowa niezależność

Liniowa niezależność – własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.

Motywacja

Własnością algebraiczną, bądź niezmiennikiem, przestrzeni liniowych nazywa się dowolną własność zachowywaną przez izomorfizmy tych przestrzeni. Są nimi m.in. bycie podzbiorem liniowo zależnym/niezależnym, kombinacją liniową, podprzestrzenią liniową, bazą oraz wymiar przestrzeni.

Wszystkie własności algebraiczne niezerowych wektorów przestrzeni liniowej skończonego wymiaru są identyczne, jednak nie jest to prawdą dla dowolnych dwóch równolicznych układów wektorów. Okazuje się jednak, że własności algebraiczne dowolnych dwóch skończonych zbiorów liniowo niezależnych składających się z tej samej liczby wektorów należących do danej przestrzeni są identyczne; nie można jednak powiedzieć tego samego o zbiorach liniowo zależnych (mogą one np. rozpinać podprzestrzenie innego wymiaru).

Przykładowo w trójwymiarowej przestrzeni liniowej $\mathbb {R} ^{3}$ nad ciałem liczb rzeczywistych zachodzi:

${\begin{matrix}\mathrm {niezale{\dot {z}}ne} \qquad \\\underbrace {\overbrace {{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\2\\-2\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}}} ,{\begin{bmatrix}4\\2\\3\end{bmatrix}}} \\\mathrm {zale{\dot {z}}ne} \end{matrix}}$

Wyżej pierwsze trzy wektory są liniowo niezależne, ale czwarty wektor równy jest 9-krotności pierwszego powiększonego o 5-krotność drugiego i 4-krotność trzeciego, tak więc powyższe cztery wektory są razem liniowo zależne. Liniowa zależność jest własnością danej rodziny, a nie jakiegokolwiek wektora z osobna; w powyższym przykładzie można by przedstawić pierwszy wektor jako kombinację liniową ostatnich trzech:

$\mathbf {v} _{1}=\left(-{\tfrac {5}{9}}\right)\mathbf {v} _{2}+\left(-{\tfrac {4}{9}}\right)\mathbf {v} _{3}+{\tfrac {1}{9}}\mathbf {v} _{4}.$

W ten sposób rodzinie złożonej z powyższych trzech pierwszych wektorów przysługują te same własności algebraiczne, co innej liniowo niezależnej rodzinie wektorów tej przestrzeni złożonej z trzech elementów, np.

${\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\3\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\0\\-2\end{bmatrix}}.$

Definicja

Podzbiór $S$ przestrzeni liniowej $V$ nazywa się liniowo niezależnym, jeżeli dla każdego skończonego podzbioru różnych wektorów $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ ze zbioru $S$ i każdego układu skalarów $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ zachodzi wynikanie:

Jeśli   $a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} ,$   to   $a_{i}=0$ dla $i=1,2,\dots ,n.$

Symbol $\mathbf {0}$ w poprzedniku powyższej implikacji oznacza wektor zerowy, a nie liczbę zero.

Implikację z definicji można w kontrapozycji przedstawić następująco:

Jeśli nie wszystkie skalary $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ są zerowe, to $a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {v} _{n}\neq \mathbf {0}$

Ogólniej, niech $V$ oznacza przestrzeń liniową nad ciałem $K$ i niech $\{\mathbf {v} _{i}\}_{i\in I}$ będzie zbiorem indeksowanym elementów przestrzeni $V.$ Zbiór jest liniowo niezależny, jeżeli dla każdego niepustego, skończonego podzbioru $J\subset I$ w zbiorze $\{a_{j}\}_{j\in J}$ elementów $K$ zachodzi implikacja:

Jeśli   $\sum _{j\in J}a_{j}\mathbf {v} _{j}=\mathbf {0} ,$   to   $a_{i}=0$ dla $i=1,2,\dots ,n.$

Zbiór wektorów, który nie jest liniowo niezależny, nazywa liniowo zależnym.

Oznacza to, że podzbiór $S$ przestrzeni liniowej $V$ jest liniowo zależny, jeżeli istnieje skończona liczba różnych wektorów $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ ze zbioru $S$ oraz skalary $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ nie wszystkie zerowe, takie że

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

Zbiór jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi reprezentacjami wektora zerowego jako kombinacji liniowej elementów tego zbioru są rozwiązania trywialne.

Równoważnie, zbiór jest zależny, jeżeli pewien jego element należy do powłoki liniowej reszty zbioru, tzn. pewien jego element jest kombinacją liniową pozostałej części rodziny.

Interpretacja geometryczna

Wyjaśnieniu pojęcia liniowej niezależności może przysłużyć się przykład geograficzny. Osoba opisująca położenie pewnego miejsca może stwierdzić: „znajduje się ono 5 km na północ i 6 km na wschód stąd”. Informacja ta wystarczy do opisania położenia, ponieważ układ współrzędnych geograficznych może być postrzegany jako dwuwymiarowa przestrzeń liniowa (ignorując wzniesienie). Osoba ta może dodać: „miejsce leży 7,81 km na północny wschód stąd”. Choć jest to stwierdzenie prawdziwe, to nie jest ono niezbędne.

W powyższym przykładzie wektory „5 km na północ” oraz „6 km na wschód” są liniowo niezależne. Oznacza to, że wektor północny nie może być opisany za pomocą wektora wschodniego i na odwrót. Trzeci wektor „7,81 km na północny wschód” jest kombinacją liniową pozostałych dwóch, co czyni ten zbiór wektorów liniowo zależnym, tzn. jeden z tych trzech wektorów jest zbędny.

Jeżeli nie zaniedbywać wzniesienia, to niezbędne staje się dodanie trzeciego wektora do zbioru liniowo niezależnego. W ogólności potrzeba $n$ liniowo niezależnych wektorów do opisania dowolnego położenia w $n$-wymiarowej przestrzeni.

Korzystając z równoważnego sformułowania liniowej niezależności można powiedzieć, że po wykonaniu (istotnego, niezerowego) ruchu z początku (przestrzeni) opisanego przy pomocy wektorów liniowo niezależnych (poprzez co najwyżej jednokrotne złożenie, czyli dodanie, każdego z nich) powrót do niego jest niemożliwy – osiągnięcie go wymaga braku ruchu w jakimkolwiek kierunku, co oznacza, że cały ruch może być opisany wyłącznie przez wektor zerowy.

Własności

Układ zawierający wektor zerowy bądź zawierający dany wektor dwukrotnie jest liniowo zależny.

Dowolny podukład $\mathbf {v} _{i_{1}},\dots ,\mathbf {v} _{i_{k}}$ liniowo niezależnego układu wektorów $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ jest liniowo niezależny.

Układ $\mathbf {w} _{1},\dots ,\mathbf {w} _{n}$ powstały z układu $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ poprzez skończoną liczbę operacji elementarnych, tzn.

• pomnożenia przez niezerowy skalar dowolnego z wektora układu,
• dodania dowolnego wektora układu do innego,
• zmiany porządku wektorów w układzie,

jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy liniowo niezależny był układ $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}.$

Zbiór wektorów, który jest liniowo niezależny i rozpina pewną przestrzeń liniową, stanowi bazę tej przestrzeni.

Przykłady

Przykład I

Wektory $(1,1)$ i $(-3,2)$ z $\mathbb {R} ^{2}$ są liniowo niezależne.

Dowód

Niech $\lambda _{1}$ oraz $\lambda _{2}$ będą dwiema liczbami rzeczywistymi takimi, że

$(1,1)\lambda _{1}+(-3,2)\lambda _{2}=(0,0).$

Biorąc każdą współrzędną z osobna uzyskuje się układ równań z niewiadomymi $\lambda _{1},\lambda _{2}{:}$

${\begin{cases}\lambda _{1}-3\lambda _{2}&=0,\\\lambda _{1}+2\lambda _{2}&=0.\end{cases}}$

Jego rozwiązaniem są $\lambda _{1}=0$ oraz $\lambda _{2}=0.$

Przykład II

Niech $V=\mathbb {R} ^{n}$ i niech dane będą następujące elementy z $V{:}$

${\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\dots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\dots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\dots ,1).\end{matrix}}$

Wtedy $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}$ są liniowo niezależne.

Dowód

Niech $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ będą takimi elementami $\mathbb {R} ,$ że

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} .$

Ponieważ

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\dots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),$

to $a_{i}=0$ dla każdego $i\in \{1,\dots ,n\}.$

Przykład III

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji zmiennej $t.$ Funkcje $e^{t}$ i $e^{2t}$ należące do $V$ są liniowo niezależne.

Dowód

Niech $a$ i $b$ będą takimi dwiema liczbami rzeczywistymi, że

$ae^{t}+be^{2t}=0$

dla wszystkich wartości $t.$ Należy wykazać, że $a=0$ oraz $b=0.$ Aby to wykazać, należy podzielić to równanie przez $e^{t}$ (które nigdy nie przyjmuje zera) i przenieść pozostały wyraz na drugą stronę, co daje

$be^{t}=-a.$

Innymi słowy funkcja $be^{t}$ musi być niezależna od $t,$ co zachodzi tylko, gdy $b=0.$ Wynika stąd, że również $a$ jest równe zeru.

Przykład IV

Następujące wektory przestrzeni $\mathbb {R} ^{4}$ są liniowo zależne:

${\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}{\text{ oraz }}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}\end{matrix}}$

Dowód

Należy znaleźć takie skalary $\lambda _{1},\;\lambda _{2},\;\lambda _{3},$ że

${\begin{matrix}\lambda _{1}{\begin{bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{bmatrix}}+\lambda _{2}{\begin{bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{bmatrix}}+\lambda _{3}{\begin{bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}.\end{matrix}}$

Rozwiązując układ równań

${\begin{cases}\lambda _{1}&\;+7\lambda _{2}&&-2\lambda _{3}&=0\\4\lambda _{1}&\;+10\lambda _{2}&&+\lambda _{3}&=0\\2\lambda _{1}&\;-4\lambda _{2}&&+5\lambda _{3}&=0\\-3\lambda _{1}&\;-\lambda _{2}&&-4\lambda _{3}&=0\end{cases}}$

(np. za pomocą eliminacji Gaussa) uzyskuje się

${\begin{cases}\lambda _{1}&=-{\tfrac {3}{2}}\lambda _{3}\\\lambda _{2}&={\tfrac {1}{2}}\lambda _{3},\end{cases}}$

gdzie $\lambda _{3}$ może być dowolną liczbą.

Ponieważ są to wyniki nietrywialne, wektory są liniowo zależne.

Przykład V

W przestrzeni liniowej wszystkich wielomianów zmiennej $x$ nad ciałem liczb rzeczywistych zbiór wektorów

$\{1,x,x^{2},\dots \}$

jest liniowo niezależny.

Dowód

Zgodnie z definicją, wystarczy wykazać, że dla dowolnego skończonego podukładu $\{x^{p_{1}},x^{p_{2}},x^{p_{3}},\dots \,x^{p_{n}}\}$ kombinacja

$a_{p_{1}}\cdot x^{p_{1}}+a_{p_{2}}\cdot x^{p_{2}}+a_{p_{3}}\cdot x^{p_{3}}+\dots \ +a_{p_{n}}\cdot x^{p_{n}}$

zeruje się tylko wtedy, gdy

$a_{p_{1}}=a_{p_{2}}=a_{p_{3}}=\dots \ =a_{p_{n}}=0$

Rzeczywiście, równość

$a_{p_{1}}\cdot x^{p_{1}}+a_{p_{2}}\cdot x^{p_{2}}+a_{p_{3}}\cdot x^{p_{3}}+\dots \ +a_{p_{n}}\cdot x^{p_{n}}\ =\ 0$

oznacza równość wielomianów, tzn. równość odpowiednich współczynników.

Metoda wyznacznikowa badania liniowej niezależności

W przestrzeniach skończenie wymiarowych do badania, czy układy wektorów są liniowo zależne, czy niezależne, można wykorzystać pojęcie wyznacznika i rzędu macierzy.

Ponieważ wyznacznik macierzy n×n jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy układ kolumn jest liniowo zależny, więc w przestrzeni n-wymiarowej $\mathbb {K} ^{n}$ układ $n$ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy, której kolumnami są współczynniki tych wektorów w dowolnej bazie, jest zerowy.

Np. dla wektorów $(1,1)$ i $(-3,2)$ z $\mathbb {R} ^{2}$ odpowiednia macierz ma postać

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.$

Ponieważ

$\det \mathbf {A} =1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0,$

więc wektory te są liniowo niezależne

Jeżeli w przestrzeni n-wymiarowej $\mathbb {K} ^{n}$ weźmiemy $m$ wektorów, gdzie $m>n,$ to układ taki jest liniowo zależny, bowiem rząd odpowiedniej macierzy nie przekracza n. Rząd zaś jest liczbą maksymalnie liniowo niezależnych wektorów, więc układ $m$ wektorów jest liniowo zależny.

Np. dla wektorów $(1,1),\ (-3,2),\ (3,3),\ (4,-1)$ z $\mathbb {R} ^{2}$ odpowiednia macierz ma postać

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-3&3&4\\1&2&3&-1\end{bmatrix}}.$

Układ jest oczywiście liniowo zależny, liniowo zależne są także wszystkie układy trzech wektorów.

Ponieważ rząd tej macierzy jest równy 2 i niezerującymi minorami stopnia są minory wszystkie z wyjątkiem minora zbudowanego na 1. i 3. kolumnie, więc wszystkie układy dwóch wektorów z wyjątkiem układu $(1,1),\ (3,3)$ są liniowo niezależne.

Jeśli w przestrzeni n-wymiarowej $\mathbb {K} ^{n}$ weźmiemy $m$ wektorów, gdzie $m<n,$ to – podobnie jak wyżej – rząd macierzy jest liczbą maksymalnie liniowo niezależnych wektorów. Wektory te ustalamy ustalając najpierw maksymalny niezerujący się minor tej macierzy. Jego stopień jest ilością liniowo niezależnych wektorów wśród wektorów badanych. Te liniowo niezależne wektory wybieramy z całego układu sprawdzając, czy „przechodzą” przez wyznaczony minor.

Np. dla wektorów $(1,1,0,2),\ (2,3,-1,3),\ (0,1,-1,-1)$ z $\mathbb {R} ^{4}$ odpowiednia macierz ma postać

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2&0\\1&3&1\\0&-1&-1\\2&3&-1\end{bmatrix}}.$

Układ jest oczywiście liniowo zależny bowiem rząd macierzy jest równy 2, tzn. każdy minor stopnia 3 jest zerowy. Każde dwa wektory spośród tych trzech tworzą układ liniowo niezależny, bowiem dowolne minory stopnia 2 zbudowane np. z dwóch pierwszych wierszy są niezerowe.

Przestrzeń rzutowa zależności liniowych

Liniowa zależność między wektorami $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ to $n$-tka $(a_{1},\dots ,a_{n})$ o składowych skalarnych, nie wszystkich zerowych, takich że

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+\dots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

Jeżeli taka liniowa zależność istnieje, to powyższe $n$ wektorów jest liniowo zależnych. Utożsamianie dwóch zależności liniowych ma sens, jeżeli jedna z nich powstaje jako niezerowa wielokrotność drugiej, ponieważ wtedy obie opisują tę samą zależność liniową między wektorami. Utożsamienie to czyni ze zbioru wszystkich zależności liniowych między $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ przestrzeń rzutową.

Uogólnienie na grupy abelowe i moduły

Pojęcie liniowej niezależności można wprowadzić również w grupach abelowych (notacja addytywna) – należy jedynie zwrócić uwagę na ograniczoną możliwość skalowania wektorów: układ $\{{\mathsf {a}}_{1},\dots ,{\mathsf {a}}_{k}\}$ niezerowych elementów grupy abelowej $A$ nazywa się (liniowo) niezależnym, jeżeli

$n_{1}{\mathsf {a}}_{1}+\dots +n_{k}{\mathsf {a}}_{k}={\mathsf {0}}$

pociąga

$n_{1}{\mathsf {a}}_{1}=\dots =n_{k}{\mathsf {a}}_{k}={\mathsf {0}},$

gdzie $n_{i}\in \mathbb {Z} .$

Powyższy warunek jest równoważny temu, iż $n_{i}=0,$ o ile rząd $\operatorname {o} ({\mathsf {a}}_{i})=\infty$ oraz $\operatorname {o} ({\mathsf {a}}_{i})|n_{i},$ jeżeli $\mathrm {o} ({\mathsf {a}}_{i})<\infty .$ W przeciwieństwie do przestrzeni liniowych w ogólności nie jest prawdą, że elementy układu zależnego można zapisać jako kombinację liniową pozostałych: jeśli układ jest zależny, to z równości

$n_{1}{\mathsf {a}}_{1}+\dots +n_{k}{\mathsf {a}}_{k}={\mathsf {0}}$

wynika jedynie, iż co najmniej jeden z wyrazów tej kombinacji, np. $n_{1}{\mathsf {a}}_{1},$ jest różny od ${\mathsf {0}},$ tzn. prawdziwa jest tylko zależność

$n_{1}{\mathsf {a}}_{1}=-n_{2}{\mathsf {a}}_{2}-\dots -n_{k}{\mathsf {a}}_{k}.$

Układ $L=\{{\mathsf {a}}_{i}\}_{i\in I}$ jest niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa generowana przez $L$ jest sumą prostą grup cyklicznych $\langle {\mathsf {a}}_{i}\rangle _{i\in I}.$

O elemencie ${\mathsf {g}}\in A$ mówi się, iż jest zależny od podzbioru $L$ zbioru $A,$ jeżeli dla pewnych ${\mathsf {a}}_{i}\in L$ oraz liczb całkowitych $n,n_{i}$ zachodzi relacja zależności

${\mathsf {0}}\neq n{\mathsf {g}}=n_{1}{\mathsf {\mathsf {a}}}_{1}+\dots +n_{k}{\mathsf {a}}_{k}.$

Podzbiór $K$ zbioru $A$ jest zależny od $L,$ jeżeli każdy element ${\mathsf {g}}\in K$ jest zależny od $L.$ Jeżeli $K$ jest zależny od $L,$ a $L$ jest zależny od $K,$ to o $K$ i $L$ mówi się, że są równoważne.

Układ niezależny $M$ elementów grupy $A$ jest maksymalny, jeżeli nie istnieje układ niezależny elementów $A$ zawierający $M$ w sposób właściwy. Dowolne dwa maksymalne układy niezależne w grupie $A$ są równoważne. Dowodzi się, że układ niezależny $M$ elementów z $A$ jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy $\langle M\rangle$ jest podgrupą istotną w $A,$ tzn. ma ona nietrywialne przecięcie z dowolną niezerową podgrupą (cykliczną) grupy $A.$ Każdy maksymalny układ niezależny w podgrupie istotnej grupy $A$ jest maksymalnym układem niezależnym w $A.$

Okazuje się, że moc wszystkich maksymalnych układów niezależnych grupy jest równa i zależy wyłącznie od $A.$ Wielkość tę nazywa się rangą danej grupy abelowej. Pojęcie rangi o analogicznych własnościach można zdefiniować dla modułów nad dowolną dziedziną całkowitości, przy czym przypadek grup abelowych odpowiada modułom nad pierścieniem liczb całkowitych.

Zobacz też

• macierz Grama
• matroid – uogólnienie pojęcia
• ortogonalność
• wrońskian

Linki zewnętrzne

• Notatki online (ang.) nt. niezależności liniowej
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Linearly Dependent Functions, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).