Liniowa niezależność
Zasugerowano, aby zintegrować ten artykuł z artykułem Liniowo zależny układ wektorów.
|
Liniowa niezależność – własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.
MotywacjaEdytuj
Własnością algebraiczną, bądź niezmiennikiem, przestrzeni liniowych nazywa się dowolną własność zachowywaną przez izomorfizmy tych przestrzeni. Są nimi m.in. bycie podzbiorem liniowo zależnym/niezależnym, kombinacją liniową, podprzestrzenią liniową, bazą oraz wymiar przestrzeni.
Wszystkie własności algebraiczne niezerowych wektorów przestrzeni liniowej skończonego wymiaru są identyczne, jednak nie jest to prawdą dla dowolnych dwóch równolicznych układów wektorów. Okazuje się jednak, że własności algebraiczne dowolnych dwóch skończonych zbiorów liniowo niezależnych składających się z tej samej liczby wektorów należących do danej przestrzeni są identyczne; nie można jednak powiedzieć tego samego o zbiorach liniowo zależnych (mogą one np. rozpinać podprzestrzenie innego wymiaru).
Przykładowo w trójwymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych zachodzi:
Wyżej pierwsze trzy wektory są liniowo niezależne, ale czwarty wektor równy jest 9-krotności pierwszego powiększonego o 5-krotność drugiego i 4-krotność trzeciego, tak więc powyższe cztery wektory są razem liniowo zależne. Liniowa zależność jest własnością danej rodziny, a nie jakiegokolwiek wektora z osobna; w powyższym przykładzie można by przedstawić pierwszy wektor jako kombinację liniową ostatnich trzech:
W ten sposób rodzinie złożonej z powyższych trzech pierwszych wektorów przysługują te same własności algebraiczne, co innej liniowo niezależnej rodzinie wektorów tej przestrzeni złożonej z trzech elementów, np.
DefinicjaEdytuj
Podzbiór przestrzeni liniowej nazywa się liniowo niezależnym, jeżeli dla każdego skończonego podzbioru różnych wektorów ze zbioru i każdego układu skalarów zachodzi wynikanie:
- Jeśli to dla
Symbol w poprzedniku powyższej implikacji oznacza wektor zerowy, a nie liczbę zero.
Implikację z definicji można w kontrapozycji przedstawić następująco:
- Jeśli nie wszystkie skalary są zerowe, to
Ogólniej, niech oznacza przestrzeń liniową nad ciałem i niech będzie zbiorem indeksowanym elementów przestrzeni Zbiór jest liniowo niezależny, jeżeli dla każdego niepustego, skończonego podzbioru w zbiorze elementów zachodzi implikacja:
- Jeśli to dla
Zbiór wektorów, który nie jest liniowo niezależny, nazywa liniowo zależnym.
Oznacza to, że podzbiór przestrzeni liniowej jest liniowo zależny, jeżeli istnieje skończona liczba różnych wektorów ze zbioru oraz skalary nie wszystkie zerowe, takie że
Zbiór jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi reprezentacjami wektora zerowego jako kombinacji liniowej elementów tego zbioru są rozwiązania trywialne.
Równoważnie, zbiór jest zależny, jeżeli pewien jego element należy do powłoki liniowej reszty zbioru, tzn. pewien jego element jest kombinacją liniową pozostałej części rodziny.
Interpretacja geometrycznaEdytuj
Wyjaśnieniu pojęcia liniowej niezależności może przysłużyć się przykład geograficzny. Osoba opisująca położenie pewnego miejsca może stwierdzić: „znajduje się ono 5 km na północ i 6 km na wschód stąd”. Informacja ta wystarczy do opisania położenia, ponieważ układ współrzędnych geograficznych może być postrzegany jako dwuwymiarowa przestrzeń liniowa (ignorując wzniesienie). Osoba ta może dodać: „miejsce leży 7,81 km na północny wschód stąd”. Choć jest to stwierdzenie prawdziwe, to nie jest ono niezbędne.
W powyższym przykładzie wektory „5 km na północ” oraz „6 km na wschód” są liniowo niezależne. Oznacza to, że wektor północny nie może być opisany za pomocą wektora wschodniego i na odwrót. Trzeci wektor „7,81 km na północny wschód” jest kombinacją liniową pozostałych dwóch, co czyni ten zbiór wektorów liniowo zależnym, tzn. jeden z tych trzech wektorów jest zbędny.
Jeżeli nie zaniedbywać wzniesienia, to niezbędne staje się dodanie trzeciego wektora do zbioru liniowo niezależnego. W ogólności potrzeba liniowo niezależnych wektorów do opisania dowolnego położenia w -wymiarowej przestrzeni.
Korzystając z równoważnego sformułowania liniowej niezależności można powiedzieć, że po wykonaniu (istotnego, niezerowego) ruchu z początku (przestrzeni) opisanego przy pomocy wektorów liniowo niezależnych (poprzez co najwyżej jednokrotne złożenie, czyli dodanie, każdego z nich) powrót do niego jest niemożliwy – osiągnięcie go wymaga braku ruchu w jakimkolwiek kierunku, co oznacza, że cały ruch może być opisany wyłącznie przez wektor zerowy.
WłasnościEdytuj
Układ zawierający wektor zerowy bądź zawierający dany wektor dwukrotnie jest liniowo zależny.
Dowolny podukład liniowo niezależnego układu wektorów jest liniowo niezależny.
Układ powstały z układu poprzez skończoną liczbę operacji elementarnych, tzn.
- pomnożenia przez niezerowy skalar dowolnego z wektora układu,
- dodania dowolnego wektora układu do innego,
- zmiany porządku wektorów w układzie,
jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy liniowo niezależny był układ
Zbiór wektorów, który jest liniowo niezależny i rozpina pewną przestrzeń liniową, stanowi bazę tej przestrzeni.
PrzykładyEdytuj
Przykład IEdytuj
Wektory i z są liniowo niezależne.
- Dowód
- Niech oraz będą dwiema liczbami rzeczywistymi takimi, że
- Biorąc każdą współrzędną z osobna uzyskuje się układ równań z niewiadomymi
- Jego rozwiązaniem są oraz
Przykład IIEdytuj
Niech i niech dane będą następujące elementy z
Wtedy są liniowo niezależne.
- Dowód
- Niech będą takimi elementami że
- Ponieważ
- to dla każdego
Przykład IIIEdytuj
Niech będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji zmiennej Funkcje i należące do są liniowo niezależne.
- Dowód
- Niech i będą takimi dwiema liczbami rzeczywistymi, że
- dla wszystkich wartości Należy wykazać, że oraz Aby to wykazać, należy podzielić to równanie przez (które nigdy nie przyjmuje zera) i przenieść pozostały wyraz na drugą stronę, co daje
- Innymi słowy funkcja musi być niezależna od co zachodzi tylko, gdy Wynika stąd, że również jest równe zeru.
Przykład IVEdytuj
Następujące wektory przestrzeni są liniowo zależne:
- Dowód
- Należy znaleźć takie skalary że
- Rozwiązując układ równań
- (np. za pomocą eliminacji Gaussa) uzyskuje się
- gdzie może być dowolną liczbą.
- Ponieważ są to wyniki nietrywialne, wektory są liniowo zależne.
Przykład VEdytuj
W przestrzeni liniowej wszystkich wielomianów zmiennej nad ciałem liczb rzeczywistych zbiór wektorów
jest liniowo niezależny.
- Dowód
Zgodnie z definicją, wystarczy wykazać, że dla dowolnego skończonego podukładu kombinacja
zeruje się tylko wtedy, gdy
Rzeczywiście, równość
oznacza równość wielomianów, tzn. równość odpowiednich współczynników.
Metoda wyznacznikowa badania liniowej niezależnościEdytuj
W przestrzeniach skończenie wymiarowych do badania, czy układy wektorów są liniowo zależne, czy niezależne, można wykorzystać pojęcie wyznacznika i rzędu macierzy.
Ponieważ wyznacznik macierzy n×n jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy układ kolumn jest liniowo zależny, więc w przestrzeni n-wymiarowej układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy, której kolumnami są współczynniki tych wektorów w dowolnej bazie, jest zerowy.
Np. dla wektorów i z odpowiednia macierz ma postać
Ponieważ
więc wektory te są liniowo niezależne
Jeżeli w przestrzeni n-wymiarowej weźmiemy wektorów, gdzie to układ taki jest liniowo zależny, bowiem rząd odpowiedniej macierzy nie przekracza n. Rząd zaś jest liczbą maksymalnie liniowo niezależnych wektorów, więc układ wektorów jest liniowo zależny.
Np. dla wektorów z odpowiednia macierz ma postać
Układ jest oczywiście liniowo zależny, liniowo zależne są także wszystkie układy trzech wektorów.
Ponieważ rząd tej macierzy jest równy 2 i niezerującymi minorami stopnia są minory wszystkie z wyjątkiem minora zbudowanego na 1. i 3. kolumnie, więc wszystkie układy dwóch wektorów z wyjątkiem układu są liniowo niezależne.
Jeśli w przestrzeni n-wymiarowej weźmiemy wektorów, gdzie to – podobnie jak wyżej – rząd macierzy jest liczbą maksymalnie liniowo niezależnych wektorów. Wektory te ustalamy ustalając najpierw maksymalny niezerujący się minor tej macierzy. Jego stopień jest ilością liniowo niezależnych wektorów wśród wektorów badanych. Te liniowo niezależne wektory wybieramy z całego układu sprawdzając, czy „przechodzą” przez wyznaczony minor.
Np. dla wektorów z odpowiednia macierz ma postać
Układ jest oczywiście liniowo zależny bowiem rząd macierzy jest równy 2, tzn. każdy minor stopnia 3 jest zerowy. Każde dwa wektory spośród tych trzech tworzą układ liniowo niezależny, bowiem dowolne minory stopnia 2 zbudowane np. z dwóch pierwszych wierszy są niezerowe.
Przestrzeń rzutowa zależności liniowychEdytuj
Liniowa zależność między wektorami to -tka o składowych skalarnych, nie wszystkich zerowych, takich że
Jeżeli taka liniowa zależność istnieje, to powyższe wektorów jest liniowo zależnych. Utożsamianie dwóch zależności liniowych ma sens, jeżeli jedna z nich powstaje jako niezerowa wielokrotność drugiej, ponieważ wtedy obie opisują tę samą zależność liniową między wektorami. Utożsamienie to czyni ze zbioru wszystkich zależności liniowych między przestrzeń rzutową.
Uogólnienie na grupy abelowe i modułyEdytuj
Pojęcie liniowej niezależności można wprowadzić również w grupach abelowych (notacja addytywna) – należy jedynie zwrócić uwagę na ograniczoną możliwość skalowania wektorów: układ niezerowych elementów grupy abelowej nazywa się (liniowo) niezależnym, jeżeli
pociąga
gdzie
Powyższy warunek jest równoważny temu, iż o ile rząd oraz jeżeli W przeciwieństwie do przestrzeni liniowych w ogólności nie jest prawdą, że elementy układu zależnego można zapisać jako kombinację liniową pozostałych: jeśli układ jest zależny, to z równości
wynika jedynie, iż co najmniej jeden z wyrazów tej kombinacji, np. jest różny od tzn. prawdziwa jest tylko zależność
Układ jest niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa generowana przez jest sumą prostą grup cyklicznych
O elemencie mówi się, iż jest zależny od podzbioru zbioru jeżeli dla pewnych oraz liczb całkowitych zachodzi relacja zależności
Podzbiór zbioru jest zależny od jeżeli każdy element jest zależny od Jeżeli jest zależny od a jest zależny od to o i mówi się, że są równoważne.
Układ niezależny elementów grupy jest maksymalny, jeżeli nie istnieje układ niezależny elementów zawierający w sposób właściwy. Dowolne dwa maksymalne układy niezależne w grupie są równoważne. Dowodzi się, że układ niezależny elementów z jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest podgrupą istotną w tzn. ma ona nietrywialne przecięcie z dowolną niezerową podgrupą (cykliczną) grupy Każdy maksymalny układ niezależny w podgrupie istotnej grupy jest maksymalnym układem niezależnym w
Okazuje się, że moc wszystkich maksymalnych układów niezależnych grupy jest równa i zależy wyłącznie od Wielkość tę nazywa się rangą danej grupy abelowej. Pojęcie rangi o analogicznych własnościach można zdefiniować dla modułów nad dowolną dziedziną całkowitości, przy czym przypadek grup abelowych odpowiada modułom nad pierścieniem liczb całkowitych.
Zobacz teżEdytuj
- macierz Grama
- matroid – uogólnienie pojęcia
- ortogonalność
- wrońskian
Linki zewnętrzneEdytuj
- Notatki online (ang.) nt. niezależności liniowej
- Eric W. Weisstein , Linearly Dependent Functions, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).