Otwórz menu główne

Liniowa niezależność

Liniowa niezależność – własność algebraiczna rodziny wektorów danej przestrzeni liniowej mówiąca, że żaden z nich nie może być zapisany jako kombinacja liniowa skończenie wielu innych wektorów ze zbioru. Rodzinę wektorów, która nie jest liniowo niezależna, nazywa się liniowo zależną.

MotywacjaEdytuj

Własnością algebraiczną, bądź niezmiennikiem, przestrzeni liniowych nazywa się dowolną własność zachowywaną przez izomorfizmy tych przestrzeni. Są nimi m.in. bycie podzbiorem liniowo zależnym/niezależnym, kombinacją liniową, podprzestrzenią liniową, bazą oraz wymiar przestrzeni.

Wszystkie własności algebraiczne niezerowych wektorów przestrzeni liniowej skończonego wymiaru są identyczne, jednak nie jest to prawdą dla dowolnych dwóch równolicznych układów wektorów. Okazuje się jednak, że własności algebraiczne dowolnych dwóch skończonych zbiorów liniowo niezależnych składających się z tej samej liczby wektorów należących do danej przestrzeni są identyczne; nie można jednak powiedzieć tego samego o zbiorach liniowo zależnych (mogą one np. rozpinać podprzestrzenie innego wymiaru).

Przykładowo w trójwymiarowej przestrzeni liniowej   nad ciałem liczb rzeczywistych zachodzi:

 

Wyżej pierwsze trzy wektory są liniowo niezależne, ale czwarty wektor równy jest 9-krotności pierwszego powiększonego o 5-krotność drugiego i 4-krotność trzeciego, tak więc powyższe cztery wektory są razem liniowo zależne. Liniowa zależność jest własnością danej rodziny, a nie jakiegokolwiek wektora z osobna; w powyższym przykładzie można by przedstawić pierwszy wektor jako kombinację liniową ostatnich trzech:

 

W ten sposób rodzinie złożonej z powyższych trzech pierwszych wektorów przysługują te same własności algebraiczne, co innej liniowo niezależnej rodzinie wektorów tej przestrzeni złożonej z trzech elementów, np.

 

DefinicjaEdytuj

Podzbiór   przestrzeni liniowej   nazywa się liniowo niezależnym, jeżeli dla każdego skończonego podzbioru różnych wektorów   ze zbioru   i każdego układu skalarów   zachodzi wynikanie:

Jeśli       to     dla  

Symbol   w poprzedniku powyższej implikacji oznacza wektor zerowy, a nie liczbę zero.

Implikację z definicji można w kontrapozycji przedstawić następująco:

Jeśli nie wszystkie skalary   są zerowe, to  

Ogólniej, niech   oznacza przestrzeń liniową nad ciałem   i niech   będzie zbiorem indeksowanym elementów przestrzeni   Zbiór jest liniowo niezależny, jeżeli dla każdego niepustego, skończonego podzbioru   w zbiorze   elementów   zachodzi implikacja:

Jeśli       to     dla  

Zbiór wektorów, który nie jest liniowo niezależny, nazywa liniowo zależnym.

Oznacza to, że podzbiór   przestrzeni liniowej   jest liniowo zależny, jeżeli istnieje skończona liczba różnych wektorów   ze zbioru   oraz skalary   nie wszystkie zerowe, takie że

 

Zbiór jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi reprezentacjami wektora zerowego jako kombinacji liniowej elementów tego zbioru są rozwiązania trywialne.

Równoważnie, zbiór jest zależny, jeżeli pewien jego element należy do powłoki liniowej reszty zbioru, tzn. pewien jego element jest kombinacją liniową pozostałej części rodziny.

Interpretacja geometrycznaEdytuj

Wyjaśnieniu pojęcia liniowej niezależności może przysłużyć się przykład geograficzny. Osoba opisująca położenie pewnego miejsca może stwierdzić: „znajduje się ono 5 km na północ i 6 km na wschód stąd”. Informacja ta wystarczy do opisania położenia, ponieważ układ współrzędnych geograficznych może być postrzegany jako dwuwymiarowa przestrzeń liniowa (ignorując wzniesienie). Osoba ta może dodać: „miejsce leży 7,81 km na północny wschód stąd”. Choć jest to stwierdzenie prawdziwe, to nie jest ono niezbędne.

W powyższym przykładzie wektory „5 km na północ” oraz „6 km na wschód” są liniowo niezależne. Oznacza to, że wektor północny nie może być opisany za pomocą wektora wschodniego i na odwrót. Trzeci wektor „7,81 km na północny wschód” jest kombinacją liniową pozostałych dwóch, co czyni ten zbiór wektorów liniowo zależnym, tzn. jeden z tych trzech wektorów jest zbędny.

Jeżeli nie zaniedbywać wzniesienia, to niezbędne staje się dodanie trzeciego wektora do zbioru liniowo niezależnego. W ogólności potrzeba   liniowo niezależnych wektorów do opisania dowolnego położenia w  -wymiarowej przestrzeni.

Korzystając z równoważnego sformułowania liniowej niezależności można powiedzieć, że po wykonaniu (istotnego, niezerowego) ruchu z początku (przestrzeni) opisanego przy pomocy wektorów liniowo niezależnych (poprzez co najwyżej jednokrotne złożenie, czyli dodanie, każdego z nich) powrót do niego jest niemożliwy – osiągnięcie go wymaga braku ruchu w jakimkolwiek kierunku, co oznacza, że cały ruch może być opisany wyłącznie przez wektor zerowy.

WłasnościEdytuj

Układ zawierający wektor zerowy bądź zawierający dany wektor dwukrotnie jest liniowo zależny.

Dowolny podukład   liniowo niezależnego układu wektorów   jest liniowo niezależny.

Układ   powstały z układu   poprzez skończoną liczbę operacji elementarnych, tzn.

jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy liniowo niezależny był układ  

Zbiór wektorów, który jest liniowo niezależny i rozpina pewną przestrzeń liniową, stanowi bazę tej przestrzeni.

PrzykładyEdytuj

Przykład IEdytuj

Wektory   i   z   są liniowo niezależne.

Dowód
Niech   oraz   będą dwiema liczbami rzeczywistymi takimi, że
 
Biorąc każdą współrzędną z osobna uzyskuje się układ równań z niewiadomymi  
 
Jego rozwiązaniem są   oraz  

Przykład IIEdytuj

Niech   i niech dane będą następujące elementy z  

 

Wtedy   są liniowo niezależne.

Dowód
Niech   będą takimi elementami   że
 
Ponieważ
 
to   dla każdego  

Przykład IIIEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji zmiennej   Funkcje   i   należące do   są liniowo niezależne.

Dowód
Niech   i   będą takimi dwiema liczbami rzeczywistymi, że
 
dla wszystkich wartości   Należy wykazać, że   oraz   Aby to wykazać, należy podzielić to równanie przez   (które nigdy nie przyjmuje zera) i przenieść pozostały wyraz na drugą stronę, co daje
 
Innymi słowy funkcja   musi być niezależna od   co zachodzi tylko, gdy   Wynika stąd, że również   jest równe zeru.

Przykład IVEdytuj

Następujące wektory przestrzeni   są liniowo zależne:

 
Dowód
Należy znaleźć takie skalary   że
 
Rozwiązując układ równań
 
(np. za pomocą eliminacji Gaussa) uzyskuje się
 
gdzie   może być dowolną liczbą.
Ponieważ są to wyniki nietrywialne, wektory są liniowo zależne.

Przykład VEdytuj

W przestrzeni liniowej wszystkich wielomianów zmiennej   nad ciałem liczb rzeczywistych zbiór wektorów

 

jest liniowo niezależny.

Dowód

Zgodnie z definicją, wystarczy wykazać, że dla dowolnego skończonego podukładu   kombinacja

 

zeruje się tylko wtedy, gdy

 

Rzeczywiście, równość

 

oznacza równość wielomianów, tzn. równość odpowiednich współczynników.

Metoda wyznacznikowa badania liniowej niezależnościEdytuj

W przestrzeniach skończenie wymiarowych do badania, czy układy wektorów są liniowo zależne, czy niezależne, można wykorzystać pojęcie wyznacznika i rzędu macierzy.

Ponieważ wyznacznik macierzy n×n jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy układ kolumn jest liniowo zależny, więc w przestrzeni n-wymiarowej   układ   wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy, której kolumnami są współczynniki tych wektorów w dowolnej bazie, jest zerowy.

Np. dla wektorów   i   z   odpowiednia macierz ma postać

 

Ponieważ

 

więc wektory te są liniowo niezależne

Jeżeli w przestrzeni n-wymiarowej   weźmiemy   wektorów, gdzie   to układ taki jest liniowo zależny, bowiem rząd odpowiedniej macierzy nie przekracza n. Rząd zaś jest liczbą maksymalnie liniowo niezależnych wektorów, więc układ   wektorów jest liniowo zależny.

Np. dla wektorów   z   odpowiednia macierz ma postać

 

Układ jest oczywiście liniowo zależny, liniowo zależne są także wszystkie układy trzech wektorów.

Ponieważ rząd tej macierzy jest równy 2 i niezerującymi minorami stopnia są minory wszystkie z wyjątkiem minora zbudowanego na 1. i 3. kolumnie, więc wszystkie układy dwóch wektorów z wyjątkiem układu   są liniowo niezależne.

Jeśli w przestrzeni n-wymiarowej   weźmiemy   wektorów, gdzie   to – podobnie jak wyżej – rząd macierzy jest liczbą maksymalnie liniowo niezależnych wektorów. Wektory te ustalamy ustalając najpierw maksymalny niezerujący się minor tej macierzy. Jego stopień jest ilością liniowo niezależnych wektorów wśród wektorów badanych. Te liniowo niezależne wektory wybieramy z całego układu sprawdzając, czy „przechodzą” przez wyznaczony minor.

Np. dla wektorów   z   odpowiednia macierz ma postać

 

Układ jest oczywiście liniowo zależny bowiem rząd macierzy jest równy 2, tzn. każdy minor stopnia 3 jest zerowy. Każde dwa wektory spośród tych trzech tworzą układ liniowo niezależny, bowiem dowolne minory stopnia 2 zbudowane np. z dwóch pierwszych wierszy są niezerowe.

Przestrzeń rzutowa zależności liniowychEdytuj

Liniowa zależność między wektorami   to  -tka   o składowych skalarnych, nie wszystkich zerowych, takich że

 

Jeżeli taka liniowa zależność istnieje, to powyższe   wektorów jest liniowo zależnych. Utożsamianie dwóch zależności liniowych ma sens, jeżeli jedna z nich powstaje jako niezerowa wielokrotność drugiej, ponieważ wtedy obie opisują tę samą zależność liniową między wektorami. Utożsamienie to czyni ze zbioru wszystkich zależności liniowych między   przestrzeń rzutową.

Uogólnienie na grupy abelowe i modułyEdytuj

Pojęcie liniowej niezależności można wprowadzić również w grupach abelowych (notacja addytywna) – należy jedynie zwrócić uwagę na ograniczoną możliwość skalowania wektorów: układ   niezerowych elementów grupy abelowej   nazywa się (liniowo) niezależnym, jeżeli

 

pociąga

 

gdzie  

Powyższy warunek jest równoważny temu, iż   o ile rząd   oraz   jeżeli   W przeciwieństwie do przestrzeni liniowych w ogólności nie jest prawdą, że elementy układu zależnego można zapisać jako kombinację liniową pozostałych: jeśli układ jest zależny, to z równości

 

wynika jedynie, iż co najmniej jeden z wyrazów tej kombinacji, np.   jest różny od   tzn. prawdziwa jest tylko zależność

 

Układ   jest niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy podgrupa generowana przez   jest sumą prostą grup cyklicznych  

O elemencie   mówi się, iż jest zależny od podzbioru   zbioru   jeżeli dla pewnych   oraz liczb całkowitych   zachodzi relacja zależności

 

Podzbiór   zbioru   jest zależny od   jeżeli każdy element   jest zależny od   Jeżeli   jest zależny od   a   jest zależny od   to o   i   mówi się, że są równoważne.

Układ niezależny   elementów grupy   jest maksymalny, jeżeli nie istnieje układ niezależny elementów   zawierający   w sposób właściwy. Dowolne dwa maksymalne układy niezależne w grupie   są równoważne. Dowodzi się, że układ niezależny   elementów z   jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy   jest podgrupą istotną w   tzn. ma ona nietrywialne przecięcie z dowolną niezerową podgrupą (cykliczną) grupy   Każdy maksymalny układ niezależny w podgrupie istotnej grupy   jest maksymalnym układem niezależnym w  

Okazuje się, że moc wszystkich maksymalnych układów niezależnych grupy jest równa i zależy wyłącznie od   Wielkość tę nazywa się rangą danej grupy abelowej. Pojęcie rangi o analogicznych własnościach można zdefiniować dla modułów nad dowolną dziedziną całkowitości, przy czym przypadek grup abelowych odpowiada modułom nad pierścieniem liczb całkowitych.

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj