Otwórz menu główne
Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „lg”. Zobacz też: LG.
Wykresy logarytmów. Czerwony przy podstawie e, zielony przy podstawie 10, fioletowy przy podstawie 1,7

Logarytm (łac. [now.] logarithmusstosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logosproporcja, i ἀριθμός árithmós – liczba) – Logarytm przy podstawie z liczby (symbolicznie ) oznacza liczbę będącą potęgą, do której podstawa musi być podniesiona, aby dać liczbę czyli

przy czym oraz

Przykładowo gdyż

Kluczową własnością logarytmów jest fakt, iż służą one zamianie często czasochłonnego mnożenia na dużo prostsze dodawanie.

Spis treści

Przykłady i zastosowaniaEdytuj

 
Logarytmy dlá szkół narodowych Ignacego Zaborowskiego, publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z 1787.

MatematykaEdytuj

Inne dziedzinyEdytuj

Logarytm naturalnyEdytuj

 
Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą   równą w przybliżeniu   Zwyczajowo zamiast   pisze się   Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej   dla której   postaci

 

wtedy jej pochodna (również formalna)   co oznacza, że   zamiast   ponieważ   W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego   jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętnyEdytuj

Osobny artykuł: logarytm dziesiętny.

Zapis bez indeksu   albo   oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

 

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności   oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby   jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym   np.

 

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:

 

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie   należy użyć logarytmu o podstawie  

WłasnościEdytuj

Wprost z definicji:

 
 
 

Z własności potęgi wynika również:

 

stąd też

 

oraz

 
 

i wreszcie

 
 

a więc

 

w szczególności

 

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość:

 

albo:

 

Ponieważ funkcje logarytmiczne o różnych podstawach (  i   powyżej) są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

Zachodzi również:

 

Każda liczba dodatnia ma logarytm rzeczywisty, ujemna jednak wyłącznie zespolony ponieważ  [1]. Ponieważ potęga niezerowej liczby (nawet dla liczb zespolonych) nigdy nie wynosi zero, więc logarytm nie jest w zerze określony.

Jeżeli podstawa   to:

 
 

dla   zachodzi natomiast:

 
 

Można również zastosować logarytm wraz z funkcją wykładniczą, do obliczania dowolnych potęg (  i   dodatnie):

 

jest to przydatne szczególnie na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.

Liczby zespoloneEdytuj

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech   będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

 
(1)

gdzie:

  •   jest dowolną liczbą całkowitą,
  •   jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby   (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
  •   to argument liczby zespolonej  
  •   to argument główny.

W szczególności dla liczb zespolonych:

 
 
 

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych   Przyjmując   otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą:   Inni[2] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej przekształcamy do logarytmu naturalnego analogicznie jak dla liczb rzeczywistych:

  dla  

gdzie:

  •   i   są liczbami zespolonymi,
  •   i   są dane wzorem (1).

Funkcja logarytmicznaEdytuj

Osobny artykuł: funkcja logarytmiczna.

Często logarytm utożsamia się z funkcją logarytmiczną określoną wzorem   przy ustalonej podstawie  

Można ją zdefiniować także jako funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej.

KologarytmEdytuj

Liczbę przeciwną do logarytmu z   nazywało się niegdyś kologarytmem   i oznaczało   lub   Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu   Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretnyEdytuj

Osobny artykuł: logarytm dyskretny.

Logarytm dyskretny elementu   (przy podstawie  ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita   że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Więcej w artykule o wzorze Eulera.
  2. Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 255. ISBN 978-83-204-3364-7.