Na tę stronę wskazuje przekierowanie z „lg”. Zobacz też: LG.
Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm (łac. [now.] logarithmusstosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb liczba oznaczana będąca rozwiązaniem równania Liczba nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę aby otrzymać liczbę logarytmowaną

Przykłady

gdyż
gdyż

Logarytmy zostały odkryte w XVI w., były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Twórcami logarytmów byli matematyk szkocki J. Neper i matematyk angielski H. Briggs.

Pozwalały zastąpić mnożenia, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.

Logarytm przy ustalonej podstawie pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną następująco:


Definicja formalnaEdytuj

 
schemat działania suwaka logarytmicznego pokazujący, jak dwie skale logarytmiczne pozwalają zamienić mnożenie   na dodawanie  

Logarytm jest działaniem zewnętrznym:   zdefiniowanym równoważnością:

 

(zamiast   stosuje się symbolikę  ).

Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn.

  • dla każdych   istnieje liczba rzeczywista  

Jest też odwrotnie:

  • dla dowolnej liczby   i dowolnej liczby   istnieje dokładnie jedna liczba   taka, że  
  • dla dowolnej liczby   i dowolnej liczby   istnieje dokładnie jedna liczba   taka, że  

Oznacza to, że przy ustalonym   lub ustalonym   działanie   jest różnowartościową suriekcją na zbiór  

Logarytm naturalnyEdytuj

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą   równą w przybliżeniu   Zwyczajowo zamiast   pisze się   Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej   dla której   postaci

 

wtedy jej pochodna (również formalna)   co oznacza, że   zamiast   ponieważ   W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego   jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętnyEdytuj

Osobny artykuł: logarytm dziesiętny.

Zapis bez indeksu   albo   oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

 

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności   oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby   jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym   np.

 

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:

 

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie   należy użyć logarytmu o podstawie  

WłasnościEdytuj

Znaki liczby   w zależności od wartości  

     
       
       

Wprost z definicji logarytmu wynika:

 

Z własności potęgi wynikają następujące równości:

 
(1)
 
 
(2)
 

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość nazywana wzorem na zmianę podstawy logarytmu:

  albo  

stąd przyjmując  

  albo   w szczególności  

Z powyższych własności można wykazać m.in. równości

 [a]

Dowody niektórych własnościEdytuj

Wzór (1): Niech   Stąd, zgodnie z definicją,   Mnożąc stronami obie równości   Ponieważ   więc   Czyli   Stąd teza.

Wzór (2): Niech   Stąd, zgodnie z definicją,   Podnosząc obie strony do potęgi   Ponieważ   więc   Czyli   Stąd teza.

Pozostałe wzory tej sekcji łatwo wynikają z dwóch udowodnionych tu równości.

Logarytm liczby zespolonejEdytuj

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech   będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

 
(1)

gdzie:

  •   jest dowolną liczbą całkowitą,
  •   jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby   (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
  •   to argument liczby zespolonej  
  •   to argument główny.

W szczególności dla liczb zespolonych:

 
 
 

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych   Przyjmując   otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą:   Inni[1] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:

 

gdzie:

  •   i   są liczbami zespolonymi,  
  •   i   są dane wzorem (1).

Oczywiście zbiór wartości   jest podwójnie indeksowany.

KologarytmEdytuj

Liczbę przeciwną do logarytmu z   nazywało się niegdyś kologarytmem   i oznaczało   lub   Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu   Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretnyEdytuj

Osobny artykuł: logarytm dyskretny.

Logarytm dyskretny elementu   (przy podstawie  ) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita   że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

 

Przykłady i zastosowaniaEdytuj

 
Logarytmy dlá szkół narodowych Ignacego Zaborowskiego, publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z 1787.

MatematykaEdytuj

Inne dziedzinyEdytuj

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Ten wzór pozwala zastosować logarytm do obliczania dowolnych potęg   Jest to przydatne na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.

PrzypisyEdytuj

  1. Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 255. ISBN 978-83-204-3364-7.