Logarytm naturalny

Logarytm naturalny, logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny – logarytm o podstawie $e$ (liczba Eulera), gdzie $e=2{,}718281828...$ Oznaczany $\log _{e},$ $\ln$ lub $\log$.

Wykres logarytmu naturalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do ${\frac {1}{e}}.$

Logarytm jako pole pod wykresem

Logarytm naturalny ln(x) jako całka z funkcji 1/x

Logarytm naturalny liczby $a$ można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji $f(x)={\frac {1}{x}}$ w przedziale od $1$ do $a{:}$

$\ln(a)=\int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x.$

Logarytm jako granica

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

$\ln a=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}.$

Dowód

Oznaczmy:

$a^{x}-1={\frac {1}{z}}$

(1)

Wtedy $a^{x}={\frac {1}{z}}+1.$ Logarytmując obustronnie przy podstawie $e,$ otrzymujemy:

$x\ln a=\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right),$

${\frac {1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}.$

Mnożąc obustronnie przez (1), otrzymujemy:

${\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{z\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)}}={\frac {\ln a}{\ln \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.$

Teraz należy wykazać, że przy $x\to 0$ mianownik dąży do jednego. Otóż:

$z={\frac {1}{a^{x}-1}}.$

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

$\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \lim \limits _{z\to \infty }\left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}}.$

Wyrażenie $\left(1+{\tfrac {1}{z}}\right)^{z}$ w mianowniku dąży do $e,$ więc mianownik jest równy $\ln e=\log _{e}e=1,$ co było do okazania.

Pochodna logarytmu naturalnego

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

${\begin{aligned}(\log _{a}x)'&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{x}}\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e\\&={\frac {1}{x\ln a}}.\end{aligned}}$

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie $a=e$ otrzymujemy: $(\ln x)'={\frac {1}{x}}.$

Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na $n$-tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli: $(\ln x)^{(n)}=-1^{(n-1)}\cdot {\frac {(n-1)!}{x^{n}}}.$

Własności

• $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ dla $x,y>0$
• $\ln(x)<\ln(y)$ dla $0<x<y$
• ${\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h$ dla $h>-1$

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję $\ln :(0,\infty )\to \mathbb {R}$

• $\ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln(x)-\ln(y)$ dla $x,y>0$
• Jeśli ciąg $c_{n}\to 0,c_{n}>-1,c_{n}\neq 0,$ to:

${\frac {\ln(1+c_{n})}{c_{n}}}\to 1$

• $\ln e^{x}=x,$
• $e^{\ln x}=x$ dla $x>0,$
• $\ln x\ =\ln 10\cdot \log x\ \approx 2{,}303\ \log x$
• $\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C$
• $\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln |f(x)|+C$
• $\ln(x)\leqslant x-1$

Rozwinięcie w szereg Maclaurina

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\ldots$ dla $-1<x\leqslant 1$

$\ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\ldots$ dla $0<x\leqslant 2$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Natural Logarithm, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-30].