Logarytm naturalny

logarytm o podstawie e

Logarytm naturalny, logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny[potrzebny przypis]logarytm o podstawie (liczba Eulera), gdzie Oznaczany [1] lub [2].

Wykres logarytmu naturalnego w kartezjańskim układzie współrzędnych

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do

Logarytm jako pole pod wykresem edytuj

 
Logarytm naturalny ln(x) jako całka z funkcji 1/x

Logarytm naturalny liczby   można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji   w przedziale od   do  

 

Logarytm jako granica edytuj

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

 

Dowód edytuj

Oznaczmy:

 
(1)

Wtedy   Logarytmując obustronnie przy podstawie   otrzymujemy:

 
 

Mnożąc obustronnie przez (1), otrzymujemy:

 

Teraz należy wykazać, że przy   mianownik dąży do jednego. Otóż:

 

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

 

Wyrażenie   w mianowniku dąży do   więc mianownik jest równy   co było do okazania.

Pochodna logarytmu naturalnego edytuj

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

 

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie   otrzymujemy:  

Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na  -tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli:  

Własności edytuj

  •   dla  
  •   dla  
  •   dla  

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję  

  •   dla  
  • Jeśli ciąg   to:
 
  •  
  •   dla  
  •  
  •  
  •  
  •  

Rozwinięcie w szereg Maclaurina edytuj

  dla  
  dla  

Przypisy edytuj

  1. logarytm naturalny, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2023-08-30].
  2. Robert G. Mortimer: Mathematics for Physical Chemistry. Academic Press, 2005-06-10, s. 9. ISBN 0-08-049288-6. [dostęp 2017-08-22].

Linki zewnętrzne edytuj