Logarytm naturalny

logarytm o podstawie e
Wykres funkcji logarytm naturalny w kartezjańskim układzie współrzędnych

Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie (liczba Eulera), gdzie Oznaczany symbolem lub Spotykany jest również zapis [1].

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do

Logarytm jako pole pod wykresemEdytuj

Logarytm naturalny liczby   można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji   w przedziale od   do  

   

Logarytm jako granicaEdytuj

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

 

DowódEdytuj

Oznaczmy:

 
(1)

Wtedy   Logarytmując obustronnie przy podstawie   otrzymujemy:

 
 

Mnożąc obustronnie przez (1) otrzymujemy:

 

Teraz należy wykazać, że przy   mianownik dąży do jednego. Otóż:

 

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

 

Wyrażenie   w mianowniku dąży do   więc mianownik jest równy   co było do okazania.

Pochodna logarytmu naturalnegoEdytuj

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

 

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie   otrzymujemy:  

Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na  -tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli:  

WłasnościEdytuj

  •   dla  
  •   dla  
  •   dla  

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję  

  •   dla  
  • Jeśli ciąg   to:
 
  •  
  •   dla  
  •  
  •  
  •  
  •  

Rozwinięcie w szereg MaclaurinaEdytuj

  dla  
  dla  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Robert G. Mortimer: Mathematics for Physical Chemistry. Academic Press, 2005-06-10, s. 9. ISBN 0-08-049288-6. [dostęp 2017-08-22].