Multifunkcja

funkcja, która jest wielowartościowa
(Przekierowano z M-produkt)

Multifunkcja lub funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony, pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji.

Rysunek przedstawia odwzorowanie wielowartościowe – elementowi 3 przyporządkowane są dwa elementy przeciwdziedziny.

DefinicjaEdytuj

Niech   i   będą niepustymi zbiorami. Multifunkcją   między zbiorami   i   nazywa się przyporządkowanie każdemu   niepustego zbioru   Jeśli   jest multifunkcją między   i   to oznacza się to czasami symbolem

 

Dla multifunkcji definiuje się, analogicznie jak dla funkcji, pojęcia obrazu, wykresu, mutlifunkcji odwrotnej czy złożenia. Traktując multifunkcję   jako funkcję   pojęcia te nie pokrywają się ze swoimi klasycznymi odpowiednikami.

  • Obrazem zbioru   poprzez multifunkcję   nazywa się zbiór
 
  • Wykresem multifunkcji   nazywamy zbiór
 
  • Multifunkcją odwrotną do multifunkcji   nazywamy multifunkcję   taką, że
 
  • Jeśli   jest niepustym zbiorem oraz   i   są multifunkcjami, to ich złożeniem nazywamy multifunkcję   daną wzorem
 

Ponadto dla multifunkcji   definiuje się (dla  ):

  •  
  •  

m-produktEdytuj

Pojęcie m-produktu rodziny zbiorów niepustych niejako „naśladuje” pojęcie produktu rodziny zbiorów.

Niech   będzie rodziną zbiorów niepustych. m-produktem   tej rodziny nazywamy rodzinę wszystkich multifunkcji

 

Jeśli   dla każdego   to m-produkt   oznaczamy symbolem   Jeśli   to multifunkcję   daną wzorem

 

nazywamy rzutowaniem na  

Topologia w m-produkcieEdytuj

Jeśli  przestrzeniami topologicznymi, to w m-produkcie   można wprowadzić topologię poprzez analogię do topologii Tichonowa w produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Topologię tę definiuje się poprzez zadanie podbazy postaci

 

BibliografiaEdytuj