MSK (modulacja)

MSK (ang. Minimum Shift Keying) – odmiana modulacji FSK fal elektromagnetycznych stosowana do przesyłu informacji w telekomunikacji. Jest to w praktyce modulacja CPFSK (ang. Continuous Phase FSK), czyli kluczowanie częstotliwości z ciągłą fazą. Charakteryzuje się dobrymi właściwościami energetycznymi.

W cyfrowej modulacji częstotliwościowej, wartościom „0” i „1” odpowiadają dwa sygnały o różnych częstotliwościach:

$S_{1}(t)=A\cos[\omega _{1}t+\phi (0)]\quad {}$ (1a)

$S_{0}(t)=A\cos[\omega _{2}t+\phi (0)]\quad {}$ (1b)

gdzie:

$\phi (0)$ jest fazą początkową sygnału (dla $t=0$).

Dla modulacji MSK, można wyrazić wzór ogólny sygnału zmodulowanego:

$S(t)=A\cos[\omega _{0}t+\phi (t)]\quad {}$ (2)

gdzie:

$\phi (t)=\phi (0)+at$ dla sygnału „1” oraz $\phi (t)=\phi (0)-at$ dla sygnału „0”.

We wzorze tym, zmienną $a,$ zwaną indeksem modulacji, definiuje się następująco:

$a={\frac {\pi }{T_{b}}}h,$ co przy założeniu $h=T_{b}(f_{1}-f_{2})$ sprowadza się do postaci:

$a={\frac {\pi }{T_{b}}}T_{b}(f_{1}-f_{2})={\frac {1}{2}}(\omega _{1}-\omega _{2})$

wtedy:

$\phi (t)=\phi (0)\pm {\frac {1}{2}}(\omega _{1}-\omega _{2})t.\quad {}$ (3)

Jeśli założy się $\omega _{0}={\frac {1}{2}}(\omega _{1}-\omega _{2})$ oraz, dla uproszczenia, przyjmie się fazę początkową równą 0, można sprowadzić zależność (2) do wzorów:

$S_{1}(t)=A\cos \left[{\frac {1}{2}}(\omega _{1}+\omega _{2})t+{\frac {1}{2}}(\omega _{1}-\omega _{2})t\right]=A\cos(\omega _{1}t),$

$S_{0}(t)=A\cos \left[{\frac {1}{2}}(\omega _{1}+\omega _{2})t-{\frac {1}{2}}(\omega _{1}-\omega _{2})t\right]=A\cos(\omega _{2}t).$

Aby zapewnić ortogonalność sygnałów reprezentujących „0” i „1”, należy tak dobrać częstotliwości $f_{1}$ i $f_{2},$ aby spełniały następujący warunek:

$\Delta fT_{b}=h={\frac {1}{2}}n,\quad n=1,2,3\dots$

Jak widać $n_{min}=1,$ więc najmniejsza różnica częstotliwości, to różnica o pół cyklu w jednym okresie $T_{b}.$ Właśnie taki przypadek zachodzi w modulacji MSK.

Ostatecznie dla modulacji MSK można zapisać:

$\phi (t)=\phi (0)\pm {\frac {\pi }{2T_{b}}}t,$

$S(t)=A\cos \phi (t)\cos(\omega _{0}t)-A\sin \phi (t)\sin(\omega _{0}t),$

człon $\cos \phi (t)$ nazywa się składową synfazową i oznaczany jest poprzez I(t), a człon $\sin \phi (t)$ – składową kwadraturową Q(t).

Fazę sygnału zmodulowanego można odczytać z tzw. wykresu kratowego fazy:

Przykład wykorzystania wykresu kratowego:

Jak widać z wykresu kratowego, dla parzystych bitów faza początkowa wynosić może 0, $\pi$ lub $-\pi ,$ wtedy:

$\phi (0)=0\Rightarrow I(t)=\cos \left({\frac {\pi }{2T_{b}}}t\right),$

$\phi (0)=\pi \vee \phi (0)=-\pi \Rightarrow I(t)=-\cos \left({\frac {\pi }{2T_{b}}}t\right).$

Dla nieparzystych bitów, faza początkowa może wynosić $+\pi /2$ lub $-\pi /2{:}$

$\phi (T_{b})=+{\frac {\pi }{2}}\Rightarrow Q(t)=\sin \left({\frac {\pi }{2T_{b}}}t\right),$

$\phi (T_{b})=-{\frac {\pi }{2}}\Rightarrow Q(t)=-\sin \left({\frac {\pi }{2T_{b}}}t\right).$

Aby określić diagram konstalacji modulacji MSK, zapisać można sygnał zmodulowany w postaci:

$S(t)={\sqrt {E_{b}}}\Phi _{1}(t)-{\sqrt {E_{b}}}\Phi _{2}(t),$

we wzorze tym:

$\Phi _{1}(t)={\sqrt {\frac {2}{Tb}}}\cos \phi (t)\cos(\omega _{0}t),$

$\Phi _{2}(t)={\sqrt {\frac {2}{Tb}}}\sin \phi (t)\sin(\omega _{0}t).$

	$\phi (0)$	znak $\Phi _{1}$	$\phi (T_{b})$	znak $\Phi _{2}$	znak $-\Phi _{2}$	Przesyłane bity
1	0	+	$\pi /2$	+	–	1
2	$\pi$	–	$\pi /2$	+	–	0
3	$\pi$	–	$-\pi /2$	–	+	1
4	0	+	$-\pi /2$	–	+	0

Na podstawie powyższej tabeli, utworzyć można diagram konstelacji dla modulacji MSK:

Modulację MSK cechuje dużo węższe widmo częstotliwościowe niż QPSK/BPSK. MSK jest więc znacznie oszczędniejsza energetycznie. Dzięki temu jest powszechnie stosowana w telekomunikacji (zwłaszcza GMSK). Schemat modulatora MSK:

Sygnał na wejściu filtrów pasmowych:

$y(t)=\cos \omega _{0}t\cos \left({\frac {\pi }{2T_{b}}}t\right)={\frac {1}{2}}\cos \left[\left(\omega _{0}-{\frac {\pi }{2T_{b}}}\right)t\right]+{\frac {1}{2}}\cos \left[\left(\omega _{0}+{\frac {\pi }{2T_{b}}}\right)t\right]$

$\Phi _{1}(t)={\frac {1}{2}}\cos \left[\left(\omega _{0}+{\frac {\pi }{2T_{b}}}\right)t\right]+{\frac {1}{2}}\cos \left[\left(\omega _{0}+{\frac {\pi }{2T_{b}}}\right)t\right]=\cos \left({\frac {\pi }{2T_{b}}}t\right)\cos(\omega _{0}t)$

$\Phi _{1}(t)={\frac {1}{2}}\cos \left[\left(\omega _{0}-{\frac {\pi }{2T_{b}}}\right)t\right]+{\frac {1}{2}}\cos \left[\left(\omega _{0}+{\frac {\pi }{2T_{b}}}\right)t\right]=\sin \left({\frac {\pi }{2T_{b}}}t\right)\sin(\omega _{0}t)$

$S(t)=m_{I}(t)\cos \left({\frac {\pi }{2T_{b}}}t\right)\cos(\omega _{0}t)-m_{Q}(t)\sin \left({\frac {\pi }{2T_{b}}}t\right)\sin(\omega _{0}t).$

Zobacz też

• GMSK