Macierz Grama

Ten artykuł dotyczy macierzy (abstrakcyjnego) iloczynu skalarnego. Zobacz też: macierze ogólnych form dwuliniowej lub półtoraliniowej (bądź hermitowskiej).

Macierz Gramamacierz związana z układem wektorów danej przestrzeni unitarnej, ułatwiająca opis tej przestrzeni; nosi ona nazwisko duńskiego matematyka Jørgena Pedersena Grama.

Choć zwykle wykorzystuje się do tego celu objętości prostopadłościanów wielowymiarowych, to do zdefiniowania miary Lebesgue’a na przestrzeni euklidesowej (a dokładniej przy określaniu miary zewnętrznej, która jest krokiem pośrednim) można użyć objętości równoległościanów wielowymiarowych (wyznaczanych przez dany układ wektorów) definiowanej za pomocą macierzy Grama. Objętość równoległościanu pojawia się także przy całkowaniu przez podstawienie (zamianie zmiennych) w całce Lebesgue’a, często jako tzw. forma objętości (antysymetryczna forma wieloliniowa najwyższego rzędu w danej przestrzeni liniowej), czyli zorientowany element objętości.

Jednym z najistotniejszych praktycznych zastosowań tej macierzy kwadratowej jest możliwość stwierdzenia, czy dany układ wektorów przestrzeni -wymiarowej jest liniowo niezależny – macierz ta musi mieć dodatni wyznacznik (dla wystarczy sprawdzić niezerowość wyznacznika samego układu wektorów) – geometrycznie odpowiada to sprawdzeniu, czy dany układ wektorów rozpina równoległościan o dodatniej objętości; kryterium to wykorzystuje się m.in. określania sterowalności i obserwowalności liniowego układu sterowania.

DefinicjaEdytuj

Niech dany będzie układ   wektorów  -wymiarowej przestrzeni unitarnej   nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Wektory układu   wyrażone w bazie   można wpisać jako kolumny macierzy   (zob. wektory kolumnowe)[a].

Macierzą Grama związaną z układem   bądź macierzą   nazywa się macierz kwadratową stopnia   nad ciałem liczb rzeczywistych

 

Wyznacznik tej macierzy nazywa się wyznacznikiem Grama wspomnianego układu wektorów (wspomnianej macierzy),

 

WłasnościEdytuj

W przypadku rzeczywistym z symetryczności dwuliniowego iloczynu skalarnego wynika   (w przypadku zespolonym   na mocy hermitowskości półtoraliniowego iloczynu skalarnego) dla dowolnych   a więc macierz Grama również jest symetryczna (hermitowska, czyli samosprzężona). Niżej przedstawiono własności w przypadku zespolonym; dla przypadku rzeczywistego wystarczy pominąć kreski nad elementami i macierzami oznaczające sprzężenie zespolone, a sprzężoną hermitowsko macierz   należy traktować jak macierz transponowaną  

Dla dowolnej macierzy   zachodzi

 

tzn.   oraz   są macierzami Grama układu wektorów   wpisanego odpowiednio jako kolumny i wiersze macierzy  [b].

Jeśli   czyli   jest kwadratowa, to wyznacznik macierzy Grama jest nieujemną wielkością rzeczywistą, gdyż

 

Układ   jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik  [c].

O tym, które z macierzy hermitowskich (symetrycznych) są macierzami Grama, czy też dokładniej: czy istnieje taka przestrzeń unitarna, dla której dana macierz hermitowska (symetryczna) jest macierzą Grama pewnej bazy tej przestrzeni, mówi kryterium Sylvestera. Formalnie warunek ten umożliwia sprawdzenie, czy dana macierz dwuliniowej formy hermitowskiej (symetrycznej) jest dodatnio określona – forma ta wówczas jest iloczynem skalarnym na tej przestrzeni.

ObjętośćEdytuj

Niech dany będzie liniowo niezależny układ wektorów   przestrzeni unitarnej   wymiaru   Jeśli   oznacza  -wymiarowy równoległościan rozpięty na   to jego  -wymiarową objętością nazywa się liczbę

 

Ponadto przyjmuje się   dla   oraz   dla  

Niech   Jeśli   jest rzutem prostopadłym wektora   na dopełnienie ortogonalne   podprzestrzeni rozpiętej przez   to wtedy

 [d].

Dla przestrzeni rzeczywistych twierdzenie to można wysłowić w przypadku dwuwymiarowym w następujący sposób: pole równoległoboku równe jest iloczynowi długości podstawy i wysokości; w przypadku trójwymiarowym: objętość równoległościanu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości. W ogólności zaś:

 

Zgodnie z uwagami z poprzedniej sekcji, jeśli   ze standardowym iloczynem skalarnym, to dla dowolnej macierzy odwracalnej   moduł wyznacznika

 

gdzie   dla   można jest  -wymiarową objętością równoległościanu w   rozpiętego na kolumnach bądź wierszach macierzy   Biorąc pod uwagę orientację bazy   wyznacznik   należy interpretować jako  -wymiarową zorientowaną objętość wspomnianego równoległościanu. Jeśli macierz   nie jest odwracalna, to jej wiersze (i kolumny) są liniowo zależne, skąd   Analogiczną interpretację uzyskuje się w przypadku przestrzeni  

Iloczyn wektorowyEdytuj

Wybór iloczynu skalarnego i orientacji w  -wymiarowej przestrzeni liniowej   nad   umożliwia podanie metody dopełniania liniowo niezależnego układu   wektorów do bazy tej przestrzeni. Iloczynem wektorowym liniowo niezależnego układu   nazywa się taki wektor   zorientowanej przestrzeni unitarnej rzeczywistej, że

  • jeśli   jest liniowo zależny, to  
  • jeśli   jest liniowo niezależny, to   oraz   przy czym baza   jest dodatnio zorientowana.

Innymi słowy wektor   oznaczany zwykle   jest prostopadły do każdego z wektorów układu   jego moduł jest równy objętości równoległoboku rozpiętego na   a dołączony na końcu   tworzy z wektorami tego układu bazę dodatnio zorientowaną.

UogólnieniaEdytuj

W przypadku zespolonych przestrzeni unitarnych iloczyn skalarny jest dodatnio określoną (a stąd niezdegenerowaną) półtoraliniową formą hermitowską (tzn. samosprzężoną), w przestrzeniach rzeczywistych iloczyn skalarny jest dodatnio określoną dwuliniową formą symetryczną. Rezygnując z warunku dodatniej określoności i hermitowskości (bądź symetryczności) można rozpatrywać przestrzeń z formą półtoraliniową (dwuliniową) – macierzy Grama odpowiada wtedy macierz tej formy w ustalonej bazie. Przestrzeń liniową z symetryczną formą dwuliniową nazywa się przestrzenią ortogonalną. Badanie form kwadratowych pochodzących od form dwuliniowych umożliwia przykładowo klasyfikację właściwych hiperpowierzchni właściwych stopnia 2 nazywanych kwadrykami, w tym hiperpowierzchni właściwych przestrzeni euklidesowych wymiaru 2 i 3, tzn. pewnych krzywych w przestrzeni   oraz pewnych powierzchni w  

Iloczyn mieszany trzech wektorów trójwymiarowej przestrzeni liniowej można zdefiniować za pomocą wyznacznika macierzy, w której wektory te są kolumnami (bądź wierszami) albo niezależnie od układu współrzędnych za pomocą iloczynu zewnętrznego   tych wektorów. Podobnie dla równoległościanu zorientowanego

 

można określić również jego  -wymiarową objętość wzorem

 

skąd wartość wyznacznika Grama można określić niezależnie od współrzędnych wektorów jako

 

UwagiEdytuj

  1. Każdy z wektorów układu   można wyrazić w bazie ortonormalnej   tzn.   dla   Wówczas   jest macierzą typu  
  2. Niech wektory   wyrażone w bazie ortonormalnej   odpowiadają kolumnom macierzy   Ponieważ   dla   oraz   w pozostałych przypadkach, to
      jest wyrazem   macierzy  
  3. Niech   będzie podprzestrzenią unitarną rozpiętą przez układ wektorów   o współrzędnych w bazie ortonormalnej   Jeśli układ   jest liniowo niezależny, to   a więc jest on bazą przestrzeni   i macierz   jest odwracalna, gdyż   Stąd   czyli   Z drugiej strony jeśli układ   jest liniowo zależny, to liniowo zależne są również kolumny   Z interpretacji mnożenia macierzy metodą współczynniki-wektory kolumny macierzy   są kombinacjami liniowymi kolumn macierzy   skąd wynika, że kolumny   również są liniowo zależne, a więc  
  4. Niech   wtedy   Niech   gdzie   zaś   Wówczas wyrazy postaci   w ostatnim wierszu oraz wyrazy postaci   w ostatniej kolumnie rozkładają się na sumy   oraz   Składniki zawierające   można pominąć przy liczeniu wyznacznika, gdyż ostatni wiersz je zawierający jest kombinacją liniową pierwszych   wierszy macierzy   (gdyż   jest kombinacją liniową  ), podobnie ma się rzecz z ostatnią kolumną. W związku z tym
     
    a ponieważ   czyli   dla   to  

BibliografiaEdytuj