Otwórz menu główne
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Niezmienniki
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy
widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz dołączonamacierz pełniąca rolę podobną do macierzy odwrotnej do danej macierzy zdefiniowana jednak dla dowolnej macierzy kwadratowej (nie tylko odwracalnej).

Wykazuje ona duży związek z wyznacznikiem danej macierzy, wiążąc wiele wzorów go wykorzystujących, np. rozwinięcie Laplace’a (w tym rekurencyjny wzór na wyznacznik), wzory Cramera (w tym wzór na macierz odwrotną[a]), twierdzenie Cauchy’ego dla wyznaczników, twierdzenie Cayleya-Hamiltona (i jego uogólnienie: lemat Nakayamy).

Niżej rozważa się macierze o elementach z ciała; wszystkie poniższe wyniki przenoszą się wprost na macierze nad pierścieniem przemiennym[b].

Spis treści

DefinicjeEdytuj

Zobacz też: minor.

Definicja macierzy dołączonej opiera się na pojęciu dopełnienia algebraicznego elementu   danej macierzy kwadratowej   stopnia   definiowanego jako minor   (tzn. wyznacznik podmacierzy) stopnia   powstały z usunięcia  -tego wiersza oraz  -tej kolumny macierzy   pomnożony przez   Dopełnienie algebraiczne elementu   macierzy   będzie oznaczane dalej symbolem   tzn.

 

Macierzą dopełnień algebraicznych macierzy   nazywa się macierz   złożoną z dopełnień algebraicznych elementów   tej macierzy. Macierzą dołączoną   do macierzy   nazywa się transpozycję jej macierzy dopełnień algebraicznych, tzn.

 

WłasnościEdytuj

Jeśli   i   są macierzami kwadratowymi stopnia   a   oznacza macierzą jednostkową tego samego stopnia, to

 

oraz

 

i dodatkowo

 
Wzór permutacyjny na wyznacznik i rozwinięcie Laplace’a
Osobny artykuł: rozwinięcie Laplace’a.

Ze wzoru permutacyjnego na wyznacznik macierzy   stopnia  

 

przy czym sumowanie odbywa się po wszystkich permutacjach zbioru   początkowych dodatnich liczb całkowitych (tzn. po elementach grupy permutacji  ), zaś   oznacza znak permutacji   równy   gdzie   oznacza liczbę inwersji tej permutacji, wynikają wzory będące przedstawieniami wyznacznika w postaci kombinacji liniowej elementów ustalonego wiersza bądź kolumny, tzn.

 

bądź

 

gdzie pierwszy z nich nazywa się rozwinięciem Laplace’a wyznacznika macierzy   względem jej  -tego wiersza, a drugi – względem jej  -tej kolumny.

Wzory te wykorzystuje się niekiedy do rekurencyjnego zdefiniowania wyznacznika (dopełnienia algebraiczne zawierają w sobie wyznaczniki stopnia niższego o jeden) z warunkiem początkowym dla macierzy stopnia pierwszego (wyznacznik równy jedynemu elementowi) lub zerowego (wyznacznik równy jedności) – wówczas wzór permutacyjny na wyznacznik dowodzony jest jako twierdzenie z tej definicji (oba te wzory są dowodzone jako twierdzenia przy definicji wyznacznika jako wieloliniowej formy alternującej maksymalnego rzędu).

Iloczyn macierzy przez macierz do niej dołączoną

Interpretacja mnożenia macierzy metodą współczynniki-wektory w rozwinięciu Laplace’a (względem wiersza bądź kolumny) macierzy   umożliwia utożsamienie jej wyznacznika z elementami przekątnej głównej iloczynu macierzy   Pozostałe elementy tej macierzy są równe zeru, gdyż zgodnie z tą samą interpretacją tworzą one wyznacznik macierzy, której wiersze bądź kolumny powtarzają się dwukrotnie, a więc są liniowo zależne, skąd wyznacznik tej macierzy musi być równy zeru. W zapisie macierzowym wzór ten, nazywany dalej „wzorem podstawowym”, przedstawia się następująco:

 

Tłumaczy on uwagę poczynioną we wstępie o związku macierzy dołączonej   z macierzą odwrotną   (definiowaną wzorem  ) do macierzy   Jeśli   jest odwracalna, czyli nieosobliwa, tzn.   to

 

Mając dany skądinąd „wzór podstawowy” (np. z twierdzenia Cayleya-Hamiltona, zob. wielomian charakterystyczny dalej) można uzyskać z niego rozwinięcie Laplace’a wskazując kombinację liniową współczynników i wektorów elementów przekątnej głównej macierzy   we „wzorze podstawowym”.

Twierdzenie Cauchy’ego
Osobny artykuł: twierdzenie Cauchy’ego.

„Wzór podstawowy” w połączeniu z wcześniejszymi własnościami umożliwia wyprowadzenie wzoru na wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych znanego jako twierdzenie Cauchy’ego:

 

gdzie korzysta się z przemienności mnożenia przez skalar (wyżej: wyznacznik) ze standardowym mnożeniem macierzy (albo z przemienności macierzy skalarnych z pozostałymi macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia), skąd

 

Z powyższego wzoru dla macierzy odwracalnej   wynika   czyli

 

Ponieważ   to z własności wyznacznika i powyższego wzoru wynika

 
Wzory Cramera
Osobny artykuł: wzory Cramera.

Jeśli   to prawostronne przemnożenie obu stron „wzoru podstawowego” przez   daje   skąd

 

o ile tylko   Elementy macierzy   nazywane są właśnie wzorami Cramera.

Wielomian charakterystyczny

Jeśli   jest wielomianem charakterystycznym macierzy   to na mocy twierdzenia Cayleya-Hamiltona zachodzi   skąd

 

a ponieważ   to oznaczając   otrzymuje się

 

przy czym   skąd uzyskuje się „wzór podstawowy”.

Wzór Jacobiego na różniczkę wyznacznika macierzy   ma postać

 

gdzie   oznacza różniczkę macierzy   a symbol   oznacza ślad macierzy.

PrzykładyEdytuj

  • Dopełnieniem algebraicznym macierzy stopnia  
 
względem elementu   jest wyznacznik   pomnożony przez   a więc
 
podobnie   i   oraz   i   Macierz dopełnień algebraicznych macierzy   jest w tym wypadku równa macierzy do niej dołączonej (ponieważ jest ona symetryczna),
 
Rozwinięciem Laplace’a macierzy   względem jej drugiego wiersza jest wyznacznik
 
a względem jej pierwszej kolumny:
 
Analogicznie dla pozostałych wierszy i kolumn. Ogólnie   gdzie   oznacza macierz zerową trzeciego stopnia; w obu przypadkach otrzymane wyniki oznaczają, iż   jest nieodwracalna[c].
  • Macierzą dołączoną do macierzy   jest macierz   Zachodzi dla niej
 
Jeśli więc   to
 

UwagiEdytuj

  1. Macierz dołączona może być obliczona wyłącznie za pomocą dodawań i mnożeń, co stanowi szybką alternatywę obliczania macierzy odwrotnej (czy wielomianu charakterystycznego): wymaga ona tylko jednego dzielenia przez wyznacznik tej macierzy (zob. złożoność obliczeniowa algorytmu).
  2. Warunek niezerowości wyznacznika należy zamienić na jego odwracalność.
  3. Co wynika również z faktu, iż wiersze/kolumny tej macierzy są liniowo zależne, np.   gdzie   oznacza  -ty wiersz macierzy