Macierz klatkowa

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka

Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana

Niezmienniki
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy
widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz klatkowa – rozbiór macierzy na umieszczone obok siebie mniejsze macierze zwane klatkami. Macierz klatkowa powstaje po pogrupowaniu zarówno wierszy i kolumn tak, aby w każdej grupie były przylegające do siebie kolumny albo przylegające wiersze. Pojedynczą klatkę tworzą pola macierzy, dla których wszystkie wiersze należą do jednej grupy i wszystkie kolumny należą do jednej grupy.

Spis treści

Definicja formalnaEdytuj

Rozważmy macierze: $A=[a_{ij}]_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,n},B=[b_{ij}]_{i=1,\dots ,m \atop j=1,\dots ,m},C=[c_{ij}]_{i=1,\dots ,n \atop j=1,\dots ,m},D=[d_{ij}]_{i=1,\dots ,m \atop j=1,\dots ,n}.$

Wówczas macierz $E=[e_{ij}]_{i=1,\dots ,n+m \atop j=1,\dots ,n+m}$ zdefiniowaną następująco:

e_{ij}:={\begin{cases}{\begin{matrix}a_{ij},&i\leqslant n,&j\leqslant n,\\b_{i-n\;j-n},&i>n,&j>n,\\c_{i\;j-1},&i\leqslant n,&j>n,\\d_{i-n\;j},&i>n,&j\leqslant n\end{matrix}}\end{cases}}

nazywamy macierzą klatkową. Macierz $E$ można zapisać w postaci

E:={\begin{bmatrix}A&C\\D&B\end{bmatrix}}.

PrzykładEdytuj

Macierz

P={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}

może zostać podzielona na 4 klatki 2×2

P_{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},P_{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},P_{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},P_{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}.

Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako

P_{\mathrm {podzielone} }={\begin{bmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{bmatrix}}.

Macierz klatkowo-diagonalnaEdytuj

Macierz klatkowo-diagonalna jest macierzą klatkową składającą się z kwadratowych macierzy na przekątnej i zawierającą wyłącznie zera w pozostałych polach. Macierz klatkowo-diagonalna $A$ ma postać

A={\begin{bmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{bmatrix}},

gdzie $A_{k}$ jest macierzą kwadratową.

Mnożenie macierzy klatkowychEdytuj

Jeśli rozmiary klatek (ich liczby kolumn i wierszy) w dwóch macierzach klatkowych pasują do siebie, to

{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1k}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{m1}&B_{m2}&\cdots &B_{mk}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1k}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nk}\end{bmatrix}},

gdzie $C_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots +A_{im}B_{mj}.$ Pozwala to na indukcyjne dowodzenie twierdzeń i konstruowanie algorytmów rekursywnych, np. algorytm Strassena.

Wyznacznik macierzy klatkowychEdytuj

Niech $\mathbb {K}$ będzie ciałem.

Jeżeli macierz $A\in M_{n\times n}(\mathbb {K} ),B\in M_{m\times m}(\mathbb {K} ),D\in M_{m\times n}(\mathbb {K} )$ oraz $\Theta$ jest macierzą zerową typu $n\times m$ to:
$\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=\det(A)\det(B)$ (dowód w przypisach^[1]).

Jeżeli macierz $A\in M_{m\times n}(\mathbb {K} ),C\in M_{m\times m}(\mathbb {K} ),D\in M_{n\times n}(\mathbb {K} )$ oraz $\Theta$ jest macierzą zerową typu $n\times m,$ to:
$\det {\begin{bmatrix}A&C\\D&\Theta \end{bmatrix}}=(-1)^{mn}\det(C)\det(D).$

PrzypisyEdytuj

↑
Dowód indukcyjny (względem $m$ ) pierwszej własności wyznacznika macierzy klatkowej.
- Niech $n\in \mathbb {N} ,m=1.$ Wtedy
  $\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}&0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}&0\\d_{11}&\dots &d_{1n}&b_{11}\end{bmatrix}}=b_{11}\det(A)=\det(B)\det(A).$
- Załóżmy, że teza zachodzi dla $n\in \mathbb {N} ,m=k-1.$
  Niech $A\in M_{n\times n}(\mathbb {K} ),B\in M_{k\times k}(\mathbb {K} ),D\in M_{k\times n}(\mathbb {K} ).$
  
  Wówczas z definicji wyznacznika macierzy otrzymuje się:
  $\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=\sum \limits _{i=1}^{k}~(-1)^{(n+k)+(n+i)}b_{ik}\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D_{i}&B_{ik}\end{bmatrix}},$ gdzie $D_{i},$ to macierz powstała z macierzy $D$ poprzez wykreślenie i-tego wiersza, natomiast $B_{ik}$ z macierzy $B$ poprzez wykreślenie $i$ -tego wiersza oraz $k$ -tej kolumny.
  
  Ponieważ $B_{ik}\in M_{(k-1)\times (k-1)}(\mathbb {K} ),D_{i}\in M_{(k-1)\times n}(\mathbb {K} ),$ więc z założenia indukcyjnego:
  $\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D_{i}&B_{ik}\end{bmatrix}}=\det(A)\det(B_{ik}).$
  
  Po podstawieniu:
  $\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=(-1)^{2n}\det(A)\sum \limits _{i=1}^{k}~(-1)^{k+i}b_{ik}\det(B_{ik})=\det(A)\det(B).$

BibliografiaEdytuj

Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.

[1] Dowód indukcyjny (względem $m$ ) pierwszej własności wyznacznika macierzy klatkowej.
Niech $n\in \mathbb {N} ,m=1.$ Wtedy
$\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}&0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}&0\\d_{11}&\dots &d_{1n}&b_{11}\end{bmatrix}}=b_{11}\det(A)=\det(B)\det(A).$

Załóżmy, że teza zachodzi dla $n\in \mathbb {N} ,m=k-1.$
Niech $A\in M_{n\times n}(\mathbb {K} ),B\in M_{k\times k}(\mathbb {K} ),D\in M_{k\times n}(\mathbb {K} ).$

Wówczas z definicji wyznacznika macierzy otrzymuje się:
$\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=\sum \limits _{i=1}^{k}~(-1)^{(n+k)+(n+i)}b_{ik}\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D_{i}&B_{ik}\end{bmatrix}},$ gdzie $D_{i},$ to macierz powstała z macierzy $D$ poprzez wykreślenie i-tego wiersza, natomiast $B_{ik}$ z macierzy $B$ poprzez wykreślenie $i$ -tego wiersza oraz $k$ -tej kolumny.

Ponieważ $B_{ik}\in M_{(k-1)\times (k-1)}(\mathbb {K} ),D_{i}\in M_{(k-1)\times n}(\mathbb {K} ),$ więc z założenia indukcyjnego:
$\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D_{i}&B_{ik}\end{bmatrix}}=\det(A)\det(B_{ik}).$

Po podstawieniu:
$\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=(-1)^{2n}\det(A)\sum \limits _{i=1}^{k}~(-1)^{k+i}b_{ik}\det(B_{ik})=\det(A)\det(B).$

[2] Niech $n\in \mathbb {N} ,m=1.$ Wtedy
$\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}&0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}&0\\d_{11}&\dots &d_{1n}&b_{11}\end{bmatrix}}=b_{11}\det(A)=\det(B)\det(A).$

[3] Załóżmy, że teza zachodzi dla $n\in \mathbb {N} ,m=k-1.$
Niech $A\in M_{n\times n}(\mathbb {K} ),B\in M_{k\times k}(\mathbb {K} ),D\in M_{k\times n}(\mathbb {K} ).$

Wówczas z definicji wyznacznika macierzy otrzymuje się:
$\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=\sum \limits _{i=1}^{k}~(-1)^{(n+k)+(n+i)}b_{ik}\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D_{i}&B_{ik}\end{bmatrix}},$ gdzie $D_{i},$ to macierz powstała z macierzy $D$ poprzez wykreślenie i-tego wiersza, natomiast $B_{ik}$ z macierzy $B$ poprzez wykreślenie $i$ -tego wiersza oraz $k$ -tej kolumny.

Ponieważ $B_{ik}\in M_{(k-1)\times (k-1)}(\mathbb {K} ),D_{i}\in M_{(k-1)\times n}(\mathbb {K} ),$ więc z założenia indukcyjnego:
$\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D_{i}&B_{ik}\end{bmatrix}}=\det(A)\det(B_{ik}).$

Po podstawieniu:
$\det {\begin{bmatrix}A&\Theta \\D&B\end{bmatrix}}=(-1)^{2n}\det(A)\sum \limits _{i=1}^{k}~(-1)^{k+i}b_{ik}\det(B_{ik})=\det(A)\det(B).$

[1]