Macierz klatkowa

Macierz klatkowa – rozbiór macierzy na umieszczone obok siebie mniejsze macierze zwane klatkami. Macierz klatkowa powstaje po pogrupowaniu zarówno wierszy i kolumn tak, aby w każdej grupie były przylegające do siebie kolumny albo przylegające wiersze. Pojedynczą klatkę tworzą pola macierzy, dla których wszystkie wiersze należą do jednej grupy i wszystkie kolumny należą do jednej grupy.

Definicja formalnaEdytuj

Rozważmy macierze:  

Wówczas macierz   zdefiniowaną następująco:

 

nazywamy macierzą klatkową. Macierz   można zapisać w postaci

 

PrzykładEdytuj

Macierz

 

może zostać podzielona na 4 klatki 2×2

 

Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako

 

Macierz klatkowo-diagonalnaEdytuj

Macierz klatkowo-diagonalna jest macierzą klatkową składającą się z kwadratowych macierzy na przekątnej i zawierającą wyłącznie zera w pozostałych polach. Macierz klatkowo-diagonalna   ma postać

 

gdzie   jest macierzą kwadratową.

Mnożenie macierzy klatkowychEdytuj

Jeśli rozmiary klatek (ich liczby kolumn i wierszy) w dwóch macierzach klatkowych pasują do siebie, to

 

gdzie   Pozwala to na indukcyjne dowodzenie twierdzeń i konstruowanie algorytmów rekursywnych, np. algorytm Strassena.

Wyznacznik macierzy klatkowychEdytuj

Niech   będzie ciałem.

  • Jeżeli macierz   oraz   jest macierzą zerową typu   to:
      (dowód w przypisach[1]).
  • Jeżeli macierz   oraz   jest macierzą zerową typu   to:
     

PrzypisyEdytuj

  1. Dowód indukcyjny (względem  ) pierwszej własności wyznacznika macierzy klatkowej.
    • Niech   Wtedy
       
    • Załóżmy, że teza zachodzi dla  
      Niech  
      Wówczas z definicji wyznacznika macierzy otrzymuje się:
        gdzie   to macierz powstała z macierzy   poprzez wykreślenie i-tego wiersza, natomiast   z macierzy   poprzez wykreślenie  -tego wiersza oraz  -tej kolumny.
      Ponieważ   więc z założenia indukcyjnego:
       
      Po podstawieniu:
       

BibliografiaEdytuj