Macierz klatkowa
Macierz klatkowa – rozbiór macierzy na umieszczone obok siebie mniejsze macierze zwane klatkami. Macierz klatkowa powstaje po pogrupowaniu zarówno wierszy i kolumn tak, aby w każdej grupie były przylegające do siebie kolumny albo przylegające wiersze. Pojedynczą klatkę tworzą pola macierzy, dla których wszystkie wiersze należą do jednej grupy i wszystkie kolumny należą do jednej grupy.
Definicja formalnaEdytuj
Rozważmy macierze:
Wówczas macierz zdefiniowaną następująco:
nazywamy macierzą klatkową. Macierz można zapisać w postaci
PrzykładEdytuj
Macierz
może zostać podzielona na 4 klatki 2×2
Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako
Macierz klatkowo-diagonalnaEdytuj
Macierz klatkowo-diagonalna jest macierzą klatkową składającą się z kwadratowych macierzy na przekątnej i zawierającą wyłącznie zera w pozostałych polach. Macierz klatkowo-diagonalna ma postać
gdzie jest macierzą kwadratową.
Mnożenie macierzy klatkowychEdytuj
Jeśli rozmiary klatek (ich liczby kolumn i wierszy) w dwóch macierzach klatkowych pasują do siebie, to
gdzie Pozwala to na indukcyjne dowodzenie twierdzeń i konstruowanie algorytmów rekursywnych, np. algorytm Strassena.
Wyznacznik macierzy klatkowychEdytuj
Niech będzie ciałem.
- Jeżeli macierz oraz jest macierzą zerową typu to:
- (dowód w przypisach[1]).
- Jeżeli macierz oraz jest macierzą zerową typu to:
PrzypisyEdytuj
- ↑ Dowód indukcyjny (względem ) pierwszej własności wyznacznika macierzy klatkowej.
- Niech Wtedy
- Załóżmy, że teza zachodzi dla
- Niech
- Wówczas z definicji wyznacznika macierzy otrzymuje się:
- gdzie to macierz powstała z macierzy poprzez wykreślenie i-tego wiersza, natomiast z macierzy poprzez wykreślenie -tego wiersza oraz -tej kolumny.
- Ponieważ więc z założenia indukcyjnego:
- Po podstawieniu:
- Niech Wtedy
BibliografiaEdytuj
- Andrzej Białynicki-Birula: Algebra liniowa z geometrią. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.