Macierz nilpotentna

Macierz nilpotentnamacierz kwadratowa, której pewna potęga jest równa macierzy zerowej.

PrzykładEdytuj

Przykładem macierzy nilpotentnej jest macierz

 

bowiem kolejne potęgi tej macierzy   są równe:

 

WłasnościEdytuj

  • Jeśli   jest nilpotentna, to najmniejsza liczba naturalna   taka, że   nie przekracza stopnia  
  • Wielomian charakterystyczny macierzy nilpotentnej   jest postaci   stąd wszystkie jej wartości własne są równe zeru.
  • Macierz nilpotentna jest osobliwa, a jej ślad jest równy zeru.
  • Każda macierz trójkątna, która na głównej przekątnej ma zera, jest macierzą nilpotentną.
  • każda wielokrotność   macierzy nilpotentnej   też jest nilpotentna. Każda potęga   macierzy nilpotentnej   też jest nilpotentna.

Postać JordanaEdytuj

Niech   będzie macierzą kwadratową stopnia   postaci:

 

tzn. przekątna „sąsiadująca” z główną przekątną tej macierzy zawiera wyłącznie jedynki.

W szczególności  

Wówczas dowolną macierz nilpotentną można sprowadzić do następującej postaci Jordana:

 

dla pewnych  

Sprowadzenie macierzy nilpotentnej do powyższej postaci Jordana jest możliwe dla dowolnego ciała[a].

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. W ogólnym przypadku, tj. dla dowolnych macierzy kwadratowych wymagane jest ciało algebraicznie domknięte.