Macierz obrotu

Macierz obrotumacierz opisująca obrót wektora w przestrzeni euklidesowej. Obrót w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest opisany przez macierz kwadratową W wyniku mnożenia macierzy obrotu przez wektor otrzymuje się wektor obrócony.

W 2 wymiarachEdytuj

 
Obrót wektora przeciwnie do obrotu wskazówek zegara o kąt   Wektor jest początkowo równoległy do osi  

W dwóch wymiarach każda macierz obrotu ma postać

 

Macierz ta obraca wektory kolumnowe następująco

 

Tak więc współrzędne   punktu   po obrocie mają wartości

 
 

Obrót jest przeciwny do obrotu wskazówek zegara jeżeli kąt   jest dodatni (np. 90°), zaś zgodny ze wskazówkami zegara, jeżeli kąt   jest ujemny (np. −90°). Dlatego macierz obrotu zgodnego ze wskazówkami zegara ma postać

 

Obrót w dwóch wymiarach ma szczególną własność przemienności, tak że nie ma znaczenia kolejność wykonywanych obrotów (macierze obrotu są też przemienne).

Uwaga:

Alternatywna konwencja używa obrotu osi układu współrzędnych: wtedy pokazane tu macierze obrotu   reprezentują obrót osi zgodnie ze wskazówkami zegara o kąt  

W 3 wymiarach – obroty podstawoweEdytuj

Obrót podstawowy (zwany też obrotem elementarnym) jest to obrót wokół dowolnej osi układu współrzędnych. Poniżej zapisane trzy macierze obrotów elementarnych obracają wektory o kąt   wokół osi     lub   w trzech wymiarach zgodnie z regułą prawej dłoni. (Te same macierze reprezentują też obrót osi układu przeciwnie do obrotu wynikającego z reguły prawej dłoni, czyli „zgodnie ze wskazówkami zegara”).

 

Każda z powyższych macierzy obraca wektory kolumnowe przeciwnie do ruchu wskazówek zegara jeżeli: 1) oś obrotu kieruje się w stronę obserwatora; 2) układ współrzędnych jest prawoskrętny; 3) kąt obrotu   jest dodatni.

Np. macierz   dla kąta   obraca wektor ustawiony początkowo zgodnie z osią   na kierunek zgodny z osią   można to łatwo sprawdzić mnożąc macierz   przez wektor (1,0,0):

 

W 3 wymiarach – dowolne obrotyEdytuj

 
Położenia trzech osi obrotu

(1) Obrót wokół środka ciężkości bryły

W środku ciężkości bryły (np. samolotu) umieszczamy 3 nieruchome względem Ziemi osie   Bryła dokonuje obrotu wokół tych osi (por. rysunek), przy czym kąty roll – pitch – yaw wynoszą odpowiednio

  – kąt obrotu wokół osi  
  – kąt obrotu wokół osi  
  – kąt obrotu wokół osi  

Macierz całego obrotu oblicza się mnożąc macierze obrotu wokół kolejnych osi, tj.

 

Jeśli wynikową macierz   pomnoży się z prawej strony przez wektor kolumnowy, przedstawiający np. wektor łączący pas pilota z głową, to w wyniku otrzyma się wektor opisujący położenie pilota względem Ziemi po obrocie.

(2) Podobnie, macierz

 

przedstawia obrót wokół osi     z zadany przez kąty Eulera      

Własności macierzy obrotu -wymiarachEdytuj

Rozważymy tu obroty w dowolnej,  -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Obrót jest przykładem izometrii, tj. transformacji, która mimo że przemieszcza punkty przestrzeni, to nie zmienia odległości między nimi. Przy tym obroty odróżniają od innych izometrii dwie szczególne własności:

  1. zostawiają przynajmniej jeden punkt nie zmieniony,
  2. pozostawiają skrętność układu nie zmienioną.

Inaczej jest w przypadku innych izometrii: translacja przesuwa wszystkie punkty, odbicie zmienia układ lewoskrętny na prawoskrętny i odwrotnie, zaś odbicie z przemieszczeniem dokonuje obu zmian.

Tw. 1. Macierz obrotu jest macierzą ortogonalną o wyznaczniku równym 1.

Uzasadnienie:

1) Jeżeli punktem obrotu jest początek układu współrzędnych O(0,0), to każdy punkt P można określić za pomocą wektora łączącego punkt O z punktem P. Można wtedy rozważać działania na takich wektorach (które tworzą przestrzeń wektorową), zamiast rozważać działania na punktach. Załóżmy że   są współrzędnymi wektora p łączącego punkt O z punktem P. Jeżeli wybierzemy ortonormalną bazę w przestrzeni, to kwadrat długości wektora p (równy odległości OP) wyznaczamy za pomocą twierdzenia Pitagorasa

 

Można to wyrazić jako też mnożenie macierzowe

 

Nałóżmy warunek, że obrót (jak i każda inna izometria) nie zmienia odległości punktów, tzn.

 

Ponieważ

 

to otrzymamy:

 

Powyższe równanie musi być prawdziwe dla wszystkich wektorów p, stąd wynika, że

 

co oznacza, że macierz odwrotna do macierzy obrotu jest macierzą do niej transponowaną

 

Stąd wynika, że wyznacznik macierzy   jest równy  

Wynika z powyższego, że macierz obrotu   jest macierzą ortogonalną. Własność ta jest słuszna dla dowolnej macierzy odpowiadającej izometrii.

2) W przypadku obrotu mamy dodatkowo warunek, że obroty zachowują skrętność układu współrzędnych (gdyż nie mogą zmienić kolejności osi układu), co oznacza że wyznacznik macierzy   jest równy +1, tj.

 

Macierz obrotu jest więc specjalną macierzą ortogonalną (tzn. macierzą ortogonalną o wyznaczniku równym 1).

Tw. 2. Jeżeli macierz   ma wyznacznik równy jeden i jest ortogonalna, to macierz ta jest macierzą obrotu.

Wniosek:

Z Tw. 1 i Tw. 2 wynika, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między specjalnymi macierzami ortogonalnymi a samymi obrotami.

Grupa macierzy obrotu SO(n)Edytuj

Tw. 1. Macierze obrotu   tworzą grupę macierzy – specjalną grupę ortogonalną  

Np. macierze 2×2 tworzą grupę SO(2), zaś macierze 3×3 tworzą grupę SO(3).

Uzasadnienie:

1) Mnożenie macierzy obrotu jest działaniem w zbiorze tych macierzy, tzn. daje w wyniku macierz obrotu. Niech   to wtedy mamy:

 

2) Element odwrotny: Każda macierz obrotu ma macierz odwrotną, która też jest macierzą obrotu. Jest to macierz transponowana do danej macierzy

 

oraz

 

3) Element neutralny: Macierz jednostkowa n×n jest macierzą obrotu o kąt 0°.

4) Mnożenie macierzy jest łączne.

Tw. 2. Dla   większego niż 2, mnożenie macierzy obrotu   nie jest przemienne – oznacza to, że grupa SO(n) jest nieabelowa dla   Np. weźmy

 

Wtedy mamy

 

Tw. 3. Grupa macierzy obrotu   jest izomorficzna z grupą obrotów w przestrzeni  -wymiarowej.

Oznacza to, że macierz obrotu odpowiada dokładnie fizycznie wykonanemu obrotowi wokół osi o odpowiednio dobranym kierunku.

Obroty infinitezymalne w 3DEdytuj

Macierze   algebry Liego   nie są macierzami obrotu – są one antysymetryczne i jako takie pochodnymi macierzy obrotu, obliczonymi dla infinitezymalnego obrotu o kąt   od położenia   Faktyczna macierz obrotu o kąt infinitezymalny   ma postać

 

gdzie   jest macierzą jednostkową 3 × 3. Np. jeżeli macierz obrotu o kąt infinitezymalny wokół osi   ma postać

 

Powyższą macierz otrzymamy z macierzy obrotu   stosując przybliżenia:     tj. pomijając wyrazy rzędu drugiego i wyższe.

Tw.

Macierze infinitezymalnego obrotu są ortogonalne i przemienne – w odróżnieniu od macierzy obrotu o kąt skończony.

Dowód:

1) Rozważmy macierz

 

Macierz ta jest ortogonalna, gdyż

 

– różni się więc od macierzy jednostkowej tylko o pomijalnie małe wyrazy 2-go rzędu   A więc z dokładnością do wyrazów 1-go rzędu macierze infinitezymalnego obrotu są ortogonalne, cnd.

2) Kwadrat macierzy   tj.

 

z dokładnością do wyrazów 1-go rzędu ma tę własność, że kąt podwaja się.

3) Macierz infinitezymanego obrotu wokół osi z ma postać

 

Porównując iloczyny infinitezymalnych obrotów mamy:

 

Ponieważ   jest 2-go rzędu, to można pominąć ten wyraz. Widać, że z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu mnożenie macierzy infinitezymalnego obrotu jest przemienne, tj.

  cnd.

Składając infinitezymalne obroty można otrzymać obroty skończone (por. Grupa obrotów).

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1997.
  • T. Trajdos, Matematyka cz. II, Podręczniki akademickie, Warszawa 1993.

Linki zewnętrzneEdytuj