Otwórz menu główne

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie macierzą kwadratową ustalonego stopnia. Macierz   jest odwracalna, jeśli istnieje taka macierz   że zachodzi

 

gdzie   jest macierzą jednostkową. Macierz   nazywa się wówczas macierzą odwrotną do macierzy   i oznacza się przez  

Jeżeli taka macierz   nie istnieje, to macierz   nazywamy nieodwracalną,

Macierze kwadratowe ustalonego stopnia tworzą pierścień (łączny, nieprzemienny z jedynką), powyższe definicje określają więc element odwracalny oraz odwrotny do danego w tym pierścieniu. Należy pamiętać, że jeżeli w pierścieniu łącznym element odwrotny do danego istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie.

Pełna grupa liniowaEdytuj

Osobny artykuł: pełna grupa liniowa.

Dla danego pierścienia   zbiór wszystkich macierzy odwracalnych stopnia   jest grupą ze względu na mnożenie macierzy. Grupę tę nazywa się pełną (ogólną) grupą liniową stopnia   nad   i oznacza  

Odwracalność a nieosobliwośćEdytuj

Definicja wyznacznika macierzy kwadratowej ma sens, o ile pierścień   nad którym zbudowana jest macierz, jest przemienny. Macierzą nieosobliwą bądź niezdegenerowaną nazywa się każdą macierz o odwracalnym wyznaczniku (jeżeli   jest ciałem, to jest to równoważne temu, że jest on różny od zera). Macierzą osobliwą albo zdegenerowaną nazywa się macierz o wyznaczniku nieodwracalnym (zerowym) – są one dzielnikami zera w pierścieniu macierzy ustalonego stopnia.

Z własności macierzy dołączonej wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona nieosobliwa. Tak więc nieosobliwość macierzy staje się kryterium odwracalności macierzy.

Jeżeli pierścień   nie jest przemienny, to określenie wyznacznika staje się niemożliwe i nie istnieje prosta metoda rachunkowa pozwalająca stwierdzić odwracalność macierzy. Wyjątek stanowią algebry centralne proste   i określany w nich wyznacznik Dieudonné (o wartościach w abelianizacji   czyli grupie  ).

WłasnościEdytuj

  • Macierz odwrotna do macierzy odwracalnej jest odwracalna, operacja odwracania macierzy jest inwolucją:
     
  • Iloczyn macierzy odwracalnych jest macierzą odwracalną,
      (kolejność macierzy jest istotna, gdyż mnożenie macierzy nie jest przemienne!).
  • Jeżeli macierz   jest odwracalna, to także   jest odwracalna,
     

UwagiEdytuj

  • Macierz jednostkowa   jest odwracalna oraz   (wynika wprost z definicji).
  • Macierz zerowa   jest nieodwracalna, ogólnie – każda macierz osobliwa jest nieodwracalna.
  • Suma macierzy odwracalnych nie musi być macierzą odwracalną, niech   będzie odwracalna, wówczas  
  • Dla nieosobliwej macierzy   zachodzi równość  

PrzykładyEdytuj

Macierz

 

ma wyznacznik równy   którego odwrotność w pierścieniu   również wynosi   Zatem macierz   ma macierz odwrotną w  

Rzeczywiście,

 

a więc

 


Macierz

  gdzie   jest pierścieniem reszt modulo 8

ma wyznacznik równy 3, który w pierścieniu   jest odwracalny (jego odwrotność też wynosi  ).

Macierz   jest więc odwracalna, a macierzą odwrotną do niej jest

 .

WyznaczanieEdytuj

Metoda dopełnień algebraicznychEdytuj

Osobny artykuł: dopełnienie algebraiczne.

Macierz odwrotną do nieosobliwej macierzy   obliczamy następująco:

 

gdzie   jest macierzą dołączoną do macierzy   (czyli transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych).

Metoda ta zakłada równoważność nieosobliwości i odwracalności.

Metoda eliminacji Gaussa-JordanaEdytuj

Osobny artykuł: metoda eliminacji Gaussa.

Metoda eliminacji Gaussa-Jordana jest jedną z metod wyznaczania macierzy odwrotnej metodami bezwyznacznikowymi.

Niech   zaś   Przez   rozumieć będziemy macierz klatkową, której pierwsze   kolumn jest kolumnami macierzy   a następne   kolumn jest kolumnami macierzy   (kreska między nimi służy oddzieleniu tych podmacierzy od siebie).

Aby znaleźć macierz odwrotną do   należy rozwiązać układ równań   względem macierzy   która jest szukaną macierzą odwrotną. Należy więc do obu podmacierzy macierzy   domnożyć macierz   (z definicji wynika, że nie ma różnicy czy prawo-, czy lewostronnie) otrzymując w ten sposób macierz   (lub  ). Ponieważ   to ostatecznie możemy interpretować tę operację jako  

Operacja mnożenie macierzy nie jest prosta i dodatkowo nie znamy wartości macierzy   wystarczy jednak w sposób zachowujący rozwiązania tego układu równań przekształcić macierz   w macierz   Sprowadza się to ostatecznie do przekształcenia podmacierzy   w podmacierz jednostkową   za pomocą neutralnych dla rozwiązań takiego układu operacji elementarnych na wierszach, działając przy tym na całej macierzy połączonej. Najszybszym zaś algorytmem wykorzystującym te operacje jest właśnie metoda eliminacji Gaussa-Jordana.

Przypadki szczególneEdytuj

  • Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej powstaje poprzez odwrócenie współczynników głównej przekątnej:
     
  • Macierz odwrotna do macierzy ortogonalnej   jest równa jej transpozycji (przestawieniu):
     
  • Macierz odwrotna do macierzy wymiaru   może być szybko wyznaczona według wzoru
     

Zobacz teżEdytuj