Macierze Pauliego

zespolone macierze hermitowskie

Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej[1]:

Wolfgang Pauli (1900–1958)

W fizyce niekiedy używa się oznaczeń i

Czasem używa się również symbolu σ0 na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem tj.

Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta,

Właściwości algebraiczneEdytuj

Niech   oznacza macierz jednostkową.

(1) Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:

 

gdzie  

(2) Iloczyny macierzy Pauliego

a) Obliczając iloczyny macierzy Pauliego, otrzyma się:

 
itd.

b) Ogólnie mamy:

 

gdzie  

(3) Z powyższych wzorów wynikają relacje komutacji oraz antykomutacji, np.

 

gdzie komutator i antykomutator zdefiniowane są następująco:

 
 

Ogólnie mamy:

 
 

gdzie:

 symbol Leviego-Civity,
 delta Kroneckera.

(4) Inna własność macierzy Pauliego:

 

Wartości i wektory własneEdytuj

(1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.

(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):

– dla macierzy  

 

– dla macierzy  

 

– dla macierzy  

 

Wektor macierzy Pauliego. Iloczyn skalarnyEdytuj

(1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:

 

gdzie  wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.

(2) Niech dany będzie wektor   taki że

 

Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor   ma postać:

 

(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.

 

TwierdzeniaEdytuj

 

oraz

 

gdzie:

  •  
  •   – wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku.

Informatyka kwantowaEdytuj

Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako   kolejno dla  

Zobacz teżEdytuj

Inne:

PrzypisyEdytuj

  1. Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, „Zeitschrift für Physik”, Bd. 43, 1927, s. 601.

Linki zewnętrzneEdytuj