Macierze Pauliego (spinowe macierze Pauliego) – zbiór 3 zespolonych macierzy hermitowskich wymiaru 2×2 wprowadzony w 1927 roku przez Wolfganga Pauliego w celu opisu spinu elektronu w mechanice kwantowej[1]:
Wolfgang Pauli (1900–1958)
![{\displaystyle \sigma _{1}=\left[{\begin{matrix}0&&1\\1&&0\end{matrix}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad40090e97a3b1a5e67a191dcbcb06b6d0795640)
![{\displaystyle \sigma _{2}=\left[{\begin{matrix}0&-i\\i&~~~0\end{matrix}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2033b7fa2abc434648edaaf782eaeeefadb2f21e)
![{\displaystyle \sigma _{3}=\left[{\begin{matrix}1&~~~0\\0&-1\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f02be70e309e510581684124870571404b3bb8)
W fizyce niekiedy używa się oznaczeń
i
Czasem używa się również symbolu σ0 na oznaczenie macierzy jednostkowej wymiaru
choć najczęściej macierz jednostkową oznacza się symbolem
tj.
![{\displaystyle I=\left[{\begin{matrix}1&&0\\0&&1\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106e8ab51feb25a715721c9594913a24b1727257)
Macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę, w rozumieniu Hilberta-Schmidta:
Właściwości algebraiczneEdytuj
Niech oznacza macierz jednostkową.
(1) Wyznaczniki i ślady macierzy Pauliego spełniają równania:
-
gdzie
(2) Iloczyny macierzy Pauliego
a) Obliczając iloczyny macierzy Pauliego, otrzyma się:
-
- itd.
b) Ogólnie mamy:
-
gdzie
(3) Z powyższych wzorów wynikają relacje komutacji oraz antykomutacji, np.
-
gdzie komutator i antykomutator zdefiniowane są następująco:
-
-
Ogólnie mamy:
-
-
gdzie:
- – symbol Leviego-Civity,
- – delta Kroneckera.
(4) Inna własność macierzy Pauliego:
-
Wartości i wektory własneEdytuj
(1) Każda z macierzy Pauliego ma dwie wartości własne, +1 i −1.
(2) Wektory własne macierzy Pauliego (znormalizowane do 1):
– dla macierzy
-
– dla macierzy
-
– dla macierzy
-
Wektor macierzy Pauliego. Iloczyn skalarnyEdytuj
(1) Wektor macierzy Pauliego zdefiniowany jest następująco:
-
gdzie – wersory osi układu współrzędnych kartezjańskich.
(2) Niech dany będzie wektor taki że
-
Wtedy iloczyn skalarny wektora macierzy Pauliego przez wektor ma postać:
-
(3) Tw. Dowolny wektor komutuje z wektorem macierzy Pauliego, gdyż mnożenie macierzy przez liczbę zawsze jest przemienne, np.
-
-
oraz
-
gdzie:
-
- – wektor jednostkowy skierowany w dowolnym kierunku.
Dowód (#1)
-
Dowód (#2)
Najpierw zauważmy równość
-
(Może być udowodniona dla n=1 z użyciem relacji antykomutacji).
Dla pozostałych:
-
Połączenie tych dwóch faktów z wiedzą o relacjach eksponencjalnych z sin i cos:
-
Kiedy podstawimy
otrzymamy
-
-
Suma cosinusów po lewej stronie i suma sinusów po prawej, więc ostatecznie,
-
Informatyka kwantowaEdytuj
Macierze Pauliego mają wielkie znaczenie w informatyce kwantowej. Wykorzystywane są jako bramki jednokubitowe. Oznacza się je zwyczajowo jako kolejno dla
- ↑ Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, „Zeitschrift für Physik”, Bd. 43, 1927, s. 601.
Linki zewnętrzneEdytuj