Macierze Reesa

Macierze Reesa – obiekty matematyczne ważne w teorii półgrup. Zostały wprowadzone przez Davida Reesa w 1940 roku. Znajdują one zastosowanie przy charakteryzacji półgrup całkowicie 0-prostych, którą daje twierdzenie Reesa.

Niezbędne pojęcia

Niech $I$ i $\Lambda$ będą zbiorami oraz niech $G$ będzie grupą. Określimy półgrupę $G^{0}$ w następujący sposób. Niech $0\notin G.$ Oznaczamy $G^{0}=G\cup \{0\}$ i dla dowolnych $a,b\in G^{0}$ określamy działanie $\cdot$ za pomocą formuły

$a\cdot b={\begin{cases}ab,&{\mbox{ jeśli }}a,b\in G,\\0,&{\mbox{ w przeciwnym wypadku,}}\end{cases}}$

gdzie $ab$ oznacza iloczyn $a$ przez $b$ w grupie $G.$ Parę $(G^{0},\cdot )$ nazywamy grupą z zerem. Działanie $\cdot$ jest łączne, więc $G^{0}$ jest półgrupą. W dalszym ciągu nie będziemy rozróżniać między $\cdot$ a mnożeniem w $G.$

Dowolne przekształcenie $A:I\times \Lambda \longrightarrow G^{0}$ nazywamy $I\times \Lambda$-macierzą nad $G^{0}.$ Wartość pary $(i,\lambda )\in I\times \Lambda$ przy przekształceniu $A$ oznaczamy symbolem $a_{i\lambda }$

Definicja

$I\times \Lambda$-macierz $A$ nad grupą z zerem $G^{0}$ nazywamy $I\times \Lambda$-macierzą Reesa nad $G^{0},$ jeżeli w zbiorze $I\times \Lambda$ istnieje dokładnie jedna para $(i,\lambda ),$ taka że $a_{i\lambda }=g\in G.$ Przyjmujemy oznaczenie $(g)_{i\lambda }=A.$

Półgrupy macierzy Reesa

Niech $P$ będzie dowolną $\Lambda \times I$-macierzą nad półgrupą z zerem $G^{0}.$ Na zbiorze wszystkich $I\times \Lambda$-macierzy Reesa nad $G^{0}$ definiuje się działanie $\odot$ w następujący sposób

$(g)_{i\lambda }\odot (h)_{j\mu }=(gp_{\lambda j}h)_{i\mu }$

dla dowolnych $g,h\in G,$ $i,j\in I$ i $\lambda ,\mu \in \Lambda .$ Działanie $\odot$ jest łączne, zatem zbiór wszystkich $I\times \Lambda$-macierzy nad Reesa $G^{0}$ z działaniem $\odot$ jest półgrupą. Oznaczamy ją symbolem ${\mathcal {M}}^{0}(G;I,\Lambda ;P).$

Mówimy, że $\Lambda \times I$-macierz $P$ jest regularna, jeżeli

• dla każdego $\lambda \in \Lambda$ istnieje $i\in I,$ takie że $p_{\lambda i}\in G,$
• dla każdego $i\in I$ istnieje $\lambda \in \Lambda ,$ takie że $p_{\lambda i}\in G.$

Okazuje się, że ${\mathcal {M}}^{0}(G;I,\Lambda ;P)$ jest półgrupą regularną wtedy i tylko wtedy, gdy $P$ jest regularna.

Bibliografia

• Clifford, Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Volume 1, 1961, American Mathematical Society.
• Howie, An Introduction to Semigroup Theory 1976, Academic Press.