Macierze gamma

Spacer.gif W tym artykule występują konwencje związane z teoriami relatywistycznymi.

Macierze γ, macierze Diraca – zbiór czterech macierzy będących bazą przestrzeni macierzy kwadratowych 4x4 nad ciałem liczb zespolonych stosowanych w relatywistycznej mechanice kwantowej.

Macierze gamma Edytuj

Macierze   są zdefiniowane za pomocą 16 równań

 

gdzie:

    =  
  – element   tensora metrycznego   czasoprzestrzeni  (przy czym np.  )
 macierz jednostkowa 4 × 4
 antykomutator A i B[1].

Powyższe warunki można zapisać w równoważnej formieː

 

gdzie:

 

Warunki określające macierze gamma wyprowadza się żądając m.in., by równanie Diraca spełniało jednocześnie równanie Kleina-Gordona. Warunki te nie definiują konkretnej postaci macierzy   – każda reprezentacja spełniająca je jest dobra.

Powyższe macierze zapisane są z górnymi wskaźnikami. Nazywa się je kontrawariantnymi macierzami gamma.

Macierze Edytuj

Kowariantne macierze gamma są zdefiniowane następującoː

 
gdzie  

i sumacyjna reguła Einsteina jest tu założona.

Reprezentacje macierzy gammaEdytuj

Najpopularniejszymi reprezentacjami są:

Reprezentacja Pauliego-DiracaEdytuj

Zaproponowana przez Wolfganga Pauliego i Paula Diraca – macierze γ wyrażają się tu przez macierze Pauliegoː

 
 

gdzie   oznacza tu macierz jednostkową 2 × 2[2]. Uwzględniając postacie macierzy Pauliego otrzymamy:

 

Macierz   jest zawsze macierzą hermitowską. Macierze   w tej reprezentacji są macierzami antyhermitowskimi, lecz nie jest tak w każdej reprezentacji.

Reprezentacja Weyla (chiralna)Edytuj

Stosowana często w kwantowej teorii pola ze względu na wygodną postać operatorów rzutu na składowe spinora w tej reprezentacji[3]ː

 
 

Macierz γ5Edytuj

Macierz γ5 jest zdefiniowana jako

 

gdzie   oznacza jednostkę urojoną; macierz ta ma różną postać w zależności od reprezentacji. Np.

  w reprezentacji Diraca.

Właściwościː

  • jest to macierz hermitowska, tj.
     
  • jej wartości własne są równe   gdyż
     
  • antykomutuje z czterema macierzami gamma, tj.
     

Pomimo że używa się tu symbolu gamma, macierz ta nie należy do algebry Clifforda C1,3(R) – zaś macierze   należą do tej algebry. Ponadto liczba 5 użyta w jej oznaczeniu jest pozostałością starszej notacji, w której macierz   oznaczano jako  

Macierze alfa, beta DiracaEdytuj

Równanie Diraca można przekształcić do postaci analogicznej do równania Schrödingera, wprowadzając macierze

 
 

Zachodzi też analogiczna odwrotna zależnośćː

 

W reprezentacji Diraca macierze te mają postać

 
 

Macierze alfa, beta Diraca są macierzami hermitowskimi.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. David Grifiths: Introduction to Elementary Particles. New York: John Wiley & sons, Inc., 1987, s. 215–216. ISBN 0-471-60386-4.
  2. James D. Bjorken, Sidney D. Drell: Relativistic Quantum Mechanics. New York: McGraw-Hill, 1964, s. 282. OCLC 534560.
  3. Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An introduction to Quantum Field Theory. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1995, s. 41. ISBN 978-0-201-50397-5.

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Weisstein, Eric W: Dirac Matrices (ang.). W: MathWorld [on-line]. [dostęp 2016-06-05].