Otwórz menu główne

Mechanika Hamiltona

Mechanika Hamiltona – przeformułowanie mechaniki klasycznej podane przez Williama Rowana Hamiltona w 1833. Formalizm Hamiltona wychodzi od mechaniki Lagrange’a, sformułowanej przez Josepha Louisa Lagrange w 1788 (która z kolei stanowi przeformułowanie mechaniki klasycznej w postaci podanej przez Newtona).

Mechanika Hamiltona przewiduje to samo, co mechanika klasyczna w postaciach podanych przez Newtona czy Lagrange’a, jednak używa odmiennego formalizmu matematycznego, wprowadzającego więcej abstrakcji. Mechanika Hamiltona może służyć do opisu prostych układów, takich jak odbijająca się piłka, wahadło lub oscylująca struna, której energia zmienia się z kinetycznej w potencjalną i z powrotem. Jednak jej siła ukazuje się w układach bardziej złożonych i dynamicznych, jak orbity planet w mechanice nieba[1]. Im więcej stopni swobody ma układ, tym bardziej skomplikowana jest jego ewolucja. W większości przypadków ruch staje się chaotyczny.

Formalizm mechaniki Hamiltona stał się także podstawą w rozwoju aparatu matematycznego mechaniki kwantowej.

Opis ruchu układuEdytuj

Równania NewtonaEdytuj

W mechanice klasycznej sformułowanej przez Newtona stan układu złożonego z   ciał poruszających się w przestrzeni 3-wymiarowej opisuje się, podając położenia i prędkości tych poszczególnych ciał układu w zależności od czasu. Aby wyznaczyć zmianę stanu układu z upływem czasu, zakłada się, że znane są (1) położenia i prędkości poszczególnych części układu w pewnej chwili początkowej, (2) siły działające na poszczególne części układu w poszczególnych chwilach czasu, (3) rozwiązuje się równanie ewolucji układu wyrażone w II prawie Newtona

 

gdzie:

    – wektory położenia układu oraz siły działającej na układ, wyrażone we współrzędnych kartezjańskich.

Równanie powyższe przedstawia de facto układ   równań różniczkowych 2-go rzędu:

 

Równania HamiltonaEdytuj

W mechanice Hamiltona stan układu opisany jest odmiennie, tj. za pomocą położeń i pędów, które nazywane są zwyczajowo współrzędnymi kanonicznymi   oraz   przy czym   – wektor położenia układu wyrażony przez współrzędne uogólnione, zaś   – wektor pędu układu wyrażony przez pędy uogólnione układu, przy czym liczba współrzędnych   jest równa liczbie stopni swobody układu (i jest równa lub mniejsza niż liczba współrzędnych kartezjańskich  ). Zmianę stanu układu otrzymuje się poprzez obliczenie hamiltonianu   i wstawienie go do równań Hamiltona[2]

 
 

Powyższy zapis wektorowy należy rozpisać na poszczególne składowe: de facto mamy tu układ   równań różniczkowych 1-go rzędu:

 
 

HamiltonianEdytuj

Osobny artykuł: Hamiltonian.

Hamiltonian układu zamkniętego jest sumą energii kinetycznej oraz potencjalnej[3]. W ogólnym przypadku hamiltonian można obliczyć z lagranżjanu za pomocą transformacji Legendre’a. Główna motywacja do używania hamiltonianów w miejsce lagrangianów pochodzi od symplektycznej natury układów hamiltonowskich.

Równania Hamiltona – układ 1-wymiarowyEdytuj

Rozważmy najprostszy układ, który składa się z pojedynczej cząstki o masie   poruszającej się w jednym wymiarze w zadanym polu potencjału skalarnego. Hamiltonian układu jest sumą energii kinetycznej   i potencjalnej  

 

przy czym

 

gdzie:

  – współrzędna wektora położenia cząstki,
  – współrzędna wektora pędu cząstki,
 

Energia kinetyczna   jest tutaj tylko funkcją pędu, zaś potencjalna   jest tylko funkcją położenia. Równania Hamiltona dla tego układu mają postać

 
 

Przykład 1 – ruch w polu grawitacyjnymEdytuj

Rozważmy ruch ciała w polu grawitacyjnym Ziemi w kierunku pionowym (np. spadek swobodny lub rzut z pewną prędkością początkową). Energia potencjalna ciała ma postać   (gdzie przyjęliśmy, iż oś   jest skierowana pionowo w górę). Hamiltonian układu ma postać:

 

(1) Z pierwszego równania Hamiltona otrzymamy

 

Po scałkowaniu tego równania otrzymamy:

 

gdzie:  pęd początkowy ciała w chwili  

(2) Z drugiego równania Hamiltona mamy

 

Całkując to równanie, otrzymamy:

 

gdzie:  położenie początkowe ciała w chwili   Uwzględniając zależność pędu od czasu uzyskaną z 1-go równania, mamy:

 

i ostatecznie otrzymamy

 

Jest to znany z mechaniki Newtona wzór na położenie ciała w ruchu ze stałym przyspieszeniem   z prędkością początkową   i położeniem początkowym  

Z powyższego przykładu widać, że w ramach mechaniki Hamiltona otrzymuje się jako rozwiązania zależności współrzędnych i pędów od czasu (przy czym są to w ogólności współrzędne i pędy uogólnione).

Obliczenie hamiltonianu z lagrangianuEdytuj

Jeżeli dany jest lagrangian wyrażony przez współrzędne uogólnione   prędkości uogólnione   oraz czas   to hamiltonian oblicza się następująco:

  1. Wyznaczamy pędy uogólnione, różniczkując lagrangian względem prędkości uogólnionych:
     
  2. Z równości uzyskanych w 1 kroku obliczamy prędkości uogólnione   wyrażając je za pomocą pędów  
  3. Obliczamy hamiltonian, używając transformacji Legendre’a:
     
    która, po skorzystaniu z wyrażenia na pęd, przyjmie postać:
     
  4. Hamiltonian na tym etapie zawiera   – zastępujemy więc prędkości   wyrażeniami   znalezionymi w 2. kroku – otrzymamy  

Przykład 2 – wahadłoEdytuj

Rozważmy wahadło matematyczne. Jego lagrangian ma postać (por. mechanika Lagrange’a):

 

Wyznaczenie hamiltonianuEdytuj

Wyznaczamy pęd uogólniony
  Stąd znajdujemy prędkość uogólnioną   którą wstawiamy do lagrangianu  
Obliczamy hamiltonian z transformacji Legendre’a – otrzymamy  
 

Znalezienie równania ruchuEdytuj

(1) Pierwsze równanie Hamiltona ma teraz postać

 

stąd znajdujemy

 .

(2) Drugie równanie Hamiltona ma teraz postać

 

stąd znajdujemy

 

(3) Różniczkując powyższe równanie po czasie obustronnie i wstawiając wyrażenie na pochodną pędu z punktu (1), znajdujemy równanie ruchu wahadła

 
(Sposoby rozwiązania tego równania omówiono w artykule wahadło).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. 16.3 The Hamiltonian [w:] MIT OpenCourseWare website 18.013A, 2007.
  2. L.N. Hand, J.D. Finch: Analytical Mechanics. Cambridge University Press, 2008. ISBN 978-0-521-57572-0.
  3. Herbert Goldstein, Charles P., Jr. Poole, John L. Safko: Classical Mechanics. Wyd. 3-cia. San Francisco, CA: Addison Wesley, 2002, s. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.

BibliografiaEdytuj