Mechanika Lagrange’a

Mechanika Lagrange’a jest przeformułowaniem mechaniki klasycznej przy użyciu zasady najmniejszego działania Hamiltona[1]. Mechanika Lagrange’a stosuje się do układów, dla których da się wprowadzić pojęcie energii potencjalnej lub energii potencjalnej uogólnionej (wielkości te nazywa się zwyczajowo odpowiednio potencjałem lub potencjałem uogólnionym). W układach tych energia mechaniczna układu jest zachowana, jeżeli istnieje dla nich pojęcie energii potencjalnej; jeśli jednak energia potencjalna nie istnieje, a istnieje tylko energia potencjalna uogólniona, to energia mechaniczna w ogólności nie jest zachowana. Inne wielkości, takie jak pęd, moment pędu, mogą być zachowane lub nie – mechanika Lagrange’a podaje warunki, pozwalające łatwo to określić[2].

Mechanika Lagrange’a została sformułowana przez włosko-francuskiego matematyka Josepha-Louisa Lagrange’a w 1788 roku.

Funkcja Lagrange’aEdytuj

Podstawowym pojęciem mechaniki Lagrange’a jest funkcja Lagrange’a zwana też Lagrangianem.

Funkcja ta w fizyce nierelatywistycznej (tj. dla prędkości ciał niewielkich w relacji do prędkości światła) jest równa różnicy między energią kinetyczną a potencjalną układu[3]

 

gdzie:

 

jest energią kinetyczną układu, równą sumie energii kinetycznych poszczególnych cząstek[4],   – masy cząstek układu,   – prędkości cząstek układu;   – energia potencjalna układu cząstek zależna od ich położeń, przy czym   – współrzędne kartezjańskie wektorów położeń cząstek w przestrzeni, tak że pierwsze trzy współrzędne odnoszą się do pierwszej cząstki itd.

Współrzędne i prędkości uogólnioneEdytuj

W mechanice Lagrange’a zamiast współrzędnych kartezjańskich położeń i prędkości (które są pochodnymi współrzędnych kartezjańskich po czasie) używa się zazwyczaj współrzędnych uogólnionych i prędkości uogólnionych (które są pochodnymi współrzędnych uogólnionych po czasie). Pozwala to w wielu wypadkach znacznie uprościć równania opisujące ruch układu.

Np. jeżeli koralik porusza się bez tarcia wzdłuż krzywoliniowego rowka w przestrzeni, to wyznaczenie jego położenia przy użyciu mechaniki Newtona wymagałyby znalezienia zmieniających się w czasie sił więzów, które utrzymują koralik w rowku, a dopiero potem znalezienia zależności współrzędnych kartezjańskich   wektora położenia koralika od czasu. Zastosowanie dla tego problemu ujęcia Lagrange’a rozpoczyna się od wyboru najmniejszego zbioru niezależnych parametrów, czyli współrzędnych uogólnionych. Wybór ten eliminuje potrzebę używania w opisie sił ograniczających ruch (sił więzów). Jest też mniej równań do rozwiązania.

Liczba współrzędnych, potrzebnych do określenia ruchu dowolnego układu, jest równa liczbie   stopni swobody układu. Współrzędne uogólnione oznaczane są zwyczajowo symbolami   zaś prędkości uogólnione (czyli pochodne po czasie współrzędnych  ) oznacza się symbolami  

Jeżeli układ poddany jest więzom, to liczba stopni swobody układu jest mniejsza od liczby współrzędnych kartezjańskich, za pomocą których można opisać układ. Np. układ złożony z   ciał poruszających się bez więzów w przestrzeni 3-wymiarowej miałby   współrzędnych kartezjańskich (np. Słońce, planety, ich księżyce, komety, i inne obiekty tworzące Układ Słoneczny). Jeżeli jednak rozważymy układ z więzami, to liczba stopni swobody zmniejszy się. Np. cząsteczka C
2
H
5
OH
składa się z 9 atomów związanych mocno ze sobą; liczba stopni swobody jest mniejsza niż   tym mniejszą, im niższą ma temperaturę; w niskiej temperaturze zanikną np. ruchy związane z jej obrotami czy drganiami.

Równania ruchu mechaniki Lagrange’aEdytuj

Równania te występują w dwóch postaciach:

(1) Równania Lagrange’a pierwszego rodzaju[5]

– zapisuje się w nich wszystkie siły, jakie działają na układ, tj. zarówno siły pól fizycznych, działających na układ, jaki i siły reakcji więzów, ograniczających ruch układu; w równaniach tych używa się tzw. mnożników Lagrange’a[6][7]

(2) Równania Lagrange’a drugiego rodzaju

 

gdzie:

  – funkcja Lagrange’a (Lagrangian) układu, wyrażona przez współrzędne uogólnione i prędkości uogólnione,
  – współrzędne uogólnione,
  – prędkości uogólnione,
  – liczba współrzędnych uogólnionych, niezbędna do opisu stanu układu.

W równaniach Lagrange’a drugiego rodzaju unika się uwzględniania sił reakcji więzów poprzez odpowiedni wybór układu współrzędnych uogólnionych[5][8]. Z rozwiązania tych równań otrzymuje się trajektorię układu fizycznego.

Opis prostego układuEdytuj

Mechanika NewtonaEdytuj

Załóżmy, że chcemy opisać ruch pojedynczego ciała w płaszczyźnie pionowej (np. rzut ukośny, rzut pionowy, spadek swobodny itp.). W ramach mechaniki Newtona zagadnienie to rozwiązujemy korzystając z II zasady dynamiki:

 
 

gdzie  współrzędne kartezjańskie wektora położenia ciała w płaszczyźnie w chwili czasu    – współrzędne kartezjańskie wektora wypadkowej siły, działającej na cząstkę (zależne w ogólności od położenia cząstki w płaszczyźnie i od czasu).

Rozwiązanie tych równań wymaga podania tzw. warunków początkowych, tj. wektorów położenia   oraz prędkości   jakie ciało miało w pewnej chwili początkowej   Z rozwiązania tych równań otrzymamy zależności   określające położenie ciała w dowolnej chwili.

Mechanika Lagrange’aEdytuj

 
Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.

Jeżeli na ciało działa siła stała w czasie, jak w powyżej podanych przykładach, to zagadnienie nie jest trudne do rozwiązania. Jednakże problem komplikuje się, jeżeli ruch jest ograniczony za pomocą jakiś więzów. Np. gdy ciało zawieszone jest na nierozciągliwej nici, tworząc wahadło, to oprócz stałej w czasie siły grawitacji na ciało działa siła ze strony nici, trzymająca ciało w niezmiennej odległości od punktu zaczepienia – siła ta zmienia się w zależności od kąta odchylenia nici od pionu. Zapisanie równań ruchu we współrzędnych kartezjańskich (metoda Newtona) prowadzi do złożonych równań różniczkowych. Dlatego wygodniejsze jest użycie metody Lagrange’a, tj. zapisanie równań ruchu w tzw. współrzędnych uogólnionych – w tym wypadku wyrażenie położenia ciała w zależności od kąta odchylenia nici od pionu   Dzięki temu zamiast dwóch nieznanych funkcji   szukamy jednej funkcji  

Równanie ruchu wahadła określa wzór[9]:

 

gdzie:

  •   – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili  
  •   – przyspieszenie ziemskie,
  •   – długość nici.

(Rozwiązanie powyższego równania w przypadku dowolnie dużych kątów nie jest łatwe – patrz: wahadło).

Przykład: Wyprowadzenie równania ruchu wahadłaEdytuj

Wyprowadzimy równanie ruchu wahadła korzystając z równań mechaniki Lagrange’a (Aby docenić prostotę obliczeń warto zobaczyć na wyprowadzenie tego samego równania w ramach mechaniki Newtona – por. wahadło)

(1) Przyjmujemy jako współrzędną uogólnioną kąta odchylenia nici od pionu  

(2) Lagrangian układu jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej wahadła (przy czym oś układu współrzędnych biegunowych, od której odmierzamy kąt, przyjmujemy jako skierowaną pionowo w dół):

 

(3) Piszemy równania Eulera-Lagrange’a

 

i podstawiając wyrażenie na Lagrangian otrzymujemy:

 

Dzieląc obie strony przez   otrzymujemy równanie w podanej postaci.

Trajektoria układu a zasada najmniejszego działaniaEdytuj

Dla trajektorii, która jest rozwiązaniem równań Lagrange’a, działanie (czyli całka z lagrangianu obliczona w przedziale czasu między dowolnie wybranymi chwilami początkową i końcową ruchu) przyjmuje wartość stacjonarną. Własność ta wynika z zasady najmniejszego działania Hamiltona, z której wyprowadza się równania ruchu Lagrange’a.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Goldstein 2001 ↓, s. 35.
  2. Goldstein 2001 ↓, s. 54.
  3. Torby 1984 ↓, s. 270.
  4. Torby 1984 ↓, s. 269.
  5. a b § 3.2 Lagrange equations of the first kind. W: R. Dvorak, Florian Freistetter: Chaos and stability in planetary systems. Birkhäuser, 2005, s. 24. ISBN 3-540-28208-4.
  6. H Haken: Information and self-organization. Wyd. 3. Springer, 2006, s. 61. ISBN 3-540-33021-6.
  7. II § 5 Auxiliary conditions: the Lagrangian λ-method. W: Cornelius Lanczos: The variational principles of mechanics. Wyd. Reprint of University of Toronto 1970 4th. Courier Dover, 1986, s. 43. ISBN 0-486-65067-7.
  8. § 1.4 Lagrange equations of the second kind. W: Henry Zatzkis: Fundamental formulas of physics. DH Menzel (edytor). Wyd. 2. Courier Dover, 1960, s. 160. ISBN 0-486-60595-7.
  9. Resnick i Halliday 1999 ↓, s. 361–364.

BibliografiaEdytuj

W języku polskim:

  • W. Królikowski, W. RubinowiczMechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
  • Landau, L.D., J. M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa 2011.
  • Feynman Richard P., Leighton Robert B., Matthew Sands, Wykłady z fizyki, t. II, cz. 1Warszawa, PWN 2019.

W języku angielskim:

  • Gupta, Kiran Chandra: Classical mechanics of particles and rigid bodies (Wiley, 1988).
  • Herbert Goldstein: Classical Mechanics. Wyd. 3. Addison-Wesley, 2001.
  • Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
  • Bruce Torby: Advanced Dynamics for Engineers. United States of America: CBS College Publishing, 1984, seria: HRW Series in Mechanical Engineering. ISBN 0-03-063366-4. (ang.)

Linki zewnętrzneEdytuj