Otwórz menu główne

Rozwiązywanie równania nieliniowegoEdytuj

ZadanieEdytuj

Zadaniem jest znalezienie pierwiastka równania zadanej funkcji ciągłej f:

 

w przedziale   A zatem znalezienie takiego   które spełnia następujące równanie:

 

Opis metodyEdytuj

 
Ilustracja działania metody Newtona, pokazane zostały 4 pierwsze kroki.

W metodzie Newtona przyjmuje się następujące założenia dla funkcji f:

  1. W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pierwiastek.
  2. Funkcja ma różne znaki na krańcach przedziału, tj.  
  3. Pierwsza i druga pochodna funkcji mają stały znak w tym przedziale.

W pierwszym kroku metody wybierany jest punkt startowy x1 (zazwyczaj jest to wartość a, b, 0 lub 1), z którego następnie wyprowadzana jest styczna w f(x1). Odcięta punktu przecięcia stycznej z osią OX jest pierwszym przybliżeniem rozwiązania (ozn. x2).

Jeśli to przybliżenie nie jest satysfakcjonujące, wówczas punkt x2 jest wybierany jako nowy punkt startowy i wszystkie czynności są powtarzane. Proces jest kontynuowany, aż zostanie uzyskane wystarczająco dobre przybliżenie pierwiastka

Kolejne przybliżenia są dane rekurencyjnym wzorem:

 

Szacowanie błęduEdytuj

Błąd k-tego przybliżenia można oszacować poprzez nierówności (x* to dokładna wartość pierwiastka):

 

lub

 

gdzie stałe wyznacza się ze wzorów:

 

oraz

 

Warunek zakończenia obliczeńEdytuj

W metodzie Newtona wykonuje się iteracyjne obliczenia, aż do momentu gdy ich wyniki będą satysfakcjonujące. W praktyce stosowanych jest kilka kryteriów warunków zakończenia obliczeń dla algorytmu (  to przyjęta dokładność obliczeń):

1. wartość funkcji w wyznaczonym punkcie jest bliska 0:
 
2. odległość pomiędzy kolejnymi przybliżeniami jest dość mała:
 
3. szacowany błąd jest dostatecznie mały:
 
4. kryterium mieszane (punkty 1 i 2 jednocześnie)

ZbieżnośćEdytuj

Metoda Newtona-Raphsona jest metodą o zbieżności kwadratowej – rząd zbieżności wynosi 2 (wyjątkiem są zera wielokrotne, dla których zbieżność jest liniowa i wynosi 1), zaś współczynnik zbieżności   Oznacza to, iż przy spełnionych założeniach błąd maleje kwadratowo wraz z ilością iteracji.

Metoda Newtona jest metodą rozwiązywania równań często używaną w solverach, ze względu na jej szybką zbieżność (w algorytmie liczba cyfr znaczących w kolejnych przybliżeniach podwaja się). Wadą jej jest fakt, iż zbieżność nie musi zawsze zachodzić. W wielu przypadkach metoda bywa rozbieżna, kiedy punkt startowy jest zbyt daleko od szukanego pierwiastka równania.

Profesjonalne solvery wykorzystują stabilniejsze, lecz mniej wydajne metody (jak np. metoda bisekcji) do znalezienia obszarów zbieżności w dziedzinie funkcji, a następnie używają metody Newtona-Raphsona do szybkiego i dokładniejszego obliczenia lokalnego pierwiastka równania. Dodatkowo solvery posiadają zabezpieczenia przed nadmierną ilością wykonywanych iteracji (przekroczenie ustalonej liczby iteracji jest równoznaczne z niepowodzeniem algorytmu w zadanym przedziale).

PrzykładEdytuj

Za pomocą metody Newtona można obliczyć pierwiastek   dla każdej liczby  

 

Funkcja f(x) ma postać:

 
 

Rekurencyjny wzór wynosi:

 
 

Dla danych   i   algorytm przebiega następująco:

 
 
 

Rozwiązywanie układu równań nieliniowychEdytuj

 
Przykład użycia metody Newtona do rozwiązywania układu równań nieliniowych

Metodę Newtona można zgeneralizować do przypadku wielowymiarowego i użyć jej do rozwiązywania układów równań nieliniowych.

ZadanieEdytuj

Niech U będzie otwartym podzbiorem przestrzeni   oraz   będzie funkcją różniczkowalną.

Zadaniem uogólnionej metody Newtona jest znalezienie takiej wartości x*, dla której:

 

Opis metodyEdytuj

Algorytm, podobnie jak dla przypadku jednowymiarowego, polega na wyborze punktu startowego   (często wybiera się wektor zerowy lub wektor jedynek), a następnie rekurencyjnym przekształcaniu tego wektora aż do momentu, gdy kolejne przybliżenia będą satysfakcjonujące. Wektory przekształcane są zgodnie z równaniem macierzowym:

 

gdzie   jest pochodną (Frécheta) – jest to de facto macierz wielkości  

Przy implementacji metody, zamiast odwracania macierzy   efektywniej jest rozwiązać układ równań (tożsamy z powyższym równaniem):

 

a następnie na podstawie obliczonego d wyznaczyć kolejne przybliżenie:

 

Warunek zakończenia obliczeńEdytuj

Kryterium zakończenia obliczeń podobnie jak w metodzie jednowymiarowej może być (w zadanej normie   oraz dokładności  ):

  1. wartość funkcji dostatecznie bliska wektorowi zerowemu:
     
  2. dostatecznie mała odległość pomiędzy kolejnymi punktami w iteracji:
     
  3. kryterium mieszane (punkty 1 oraz 2 jednocześnie)

ZbieżnośćEdytuj

Jeśli funkcja F:

  •   dla pewnego  
  • pochodna   jest odwzorowaniem zwężającym i nieosobliwym,

to dla punktu startowego   będącego dostatecznie blisko x*, wielowymiarowa metoda Newtona jest zbieżna oraz zbieżność ta jest kwadratowa.

Pierwiastki wielokrotneEdytuj

Przy rozwiązywaniu równań nieliniowych kłopotliwymi dla metody Newtona mogą być pierwiastki wielokrotne, dla których zbieżność algorytmu staje się liniowa. Dla takich przypadków metoda Newtona może być dużo wolniejsza niż inne metody rozwiązywania równań o zbieżności liniowej.

Aby zaradzić tego typu problemom, w praktyce stosuje się następujące podejścia:

  • Dla układu równań – przeprowadzenie optymalizacji funkcji G (znalezienie minimum zadanej funkcji celu):
 
gdzie   oznacza iloczyn skalarny dwóch wektorów.
  • Dla równania nieliniowego – znalezienie pierwiastka odpowiedniej pochodnej   lub przeprowadzenie minimalizacji funkcji  


Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj