Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussaalgorytm rozwiązywania układów równań liniowych[1], obliczania rzędu macierzy, obliczania macierzy odwrotnej, obliczania wartości wyznacznika oraz wyznaczenia rozkładu LU[2], wykorzystujący operacje elementarne; jego nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa.

Obliczanie rzędu macierzyEdytuj

Obliczając rząd macierzy metodą Gaussa, należy za pomocą operacji elementarnych na wierszach sprowadzić macierz do macierzy schodkowej. Wtedy wszystkie niezerowe wiersze są liniowo niezależne i można łatwo odczytać rząd macierzy.

PrzykładEdytuj

Przykładowo: macierz   poprzez dokonanie operacji elementarnych:

 

odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza,

 

zamiany 2. i 3. wiersza,

 

odjęcia wiersza 2. od wiersza 4.

 

odjęcia 3. wiersza od 4. wiersza

 

sprowadzono do macierzy schodkowej. Rząd tej macierzy łatwo odczytać, bowiem jest on równy liczbie jej „schodków”, czyli liczbie wierszy pomniejszonej o liczbę wierszy zerowych. W tym przypadku rząd macierzy   równy jest 3.

Rozwiązywanie układów równań liniowychEdytuj

Rozwiązując układ   równań liniowych z   niewiadomymi, należy za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach (można zamieniać kolumny miejscami) sprowadzić macierz rozszerzoną układu równań liniowych do postaci schodkowej. Następnie należy rozstrzygnąć istnienie rozwiązań układu z pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego. Jeżeli układ nie jest sprzeczny, to zbiór rozwiązań układu wyjściowego jest równy zbiorowi rozwiązań układu reprezentowanego przez powstałą schodkową macierz rozszerzoną.

PrzykładEdytuj

Układ wyjściowy:

 

Macierz rozszerzona tego układu:

 

Sprowadzając do postaci schodkowej (za pomocą operacji kolejno: odjęcia wielokrotności 1. wiersza od 2., 3. i 4. wiersza, zamienienia 2. i 3. wiersza, odjęcia 2. wiersza od 4. wiersza, odjęciu 3. wiersza od 4. wiersza):

 

Rząd macierzy głównej

 

jest równy 3, czyli równy rzędowi macierzy rozszerzonej

 

oraz mniejszy od liczby szukanych niewiadomych.
Z twierdzenia Kroneckera-Capellego wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru. Rozwiązujemy układ:

 

Przyjmując parametr   za   i rozwiązując układ od dołu, uzyskujemy:

 
 
 
 

Zatem rozwiązaniem układu są czwórki:

 

gdzie   jest dowolnym elementem z ciała, w którym szuka się rozwiązania (na przykład,  ).

Obliczanie macierzy odwrotnejEdytuj

Aby obliczyć macierz odwrotną macierzy nieosobliwej o stopniu   należy, za pomocą operacji elementarnych wyłącznie na wierszach, sprowadzić macierz blokową   do postaci   Powstała macierz   jest szukaną macierzą odwrotną do macierzy   Symbolicznie można zapisać:  

PrzykładEdytuj

Wyjściowa macierz:

 

Jej wyznacznik jest równy 2, czyli macierz odwrotna istnieje. Macierz blokowa   ma postać:

 

Wykonując następujące operacje elementarne na wierszach:

(1) W2 – 3/7·W1   (od drugiego wiersza odjąć pomnożony przez 3/7 wiersz pierwszy),
(2) 1/7·W1   (pierwszy wiersz pomnożyć przez 1/7),
(3) 7/2·W2   (drugi wiersz pomnożyć przez 7/2),
(4) W1 – 4/7·W2   (od pierwszego wiersza odjąć pomnożony przez 4/7 wiersz drugi);

przedstawione poniżej:

 
    ← po operacjach (2) i (3)
 

lub w inny sposób (w 3. operacjach elementarnych):

(1) W1 – 2·W2   (od pierwszego wiersza odjąć pomnożony przez 2 wiersz drugi),
(2) W2 – 3·W1   (od drugiego wiersza odjąć pomnożony przez 3 wiersz pierwszy);
(3) 1/2·W2   (wiersz drugi pomnożyć przez 1/2);

otrzymujemy macierz:

 

która jest macierzą odwrotną do macierzy wyjściowej.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj