Metryka Kerra

Metryka Kerra – ścisłe, stacjonarne i osiowosymetryczne rozwiązanie równania Einsteina ogólnej teorii względności w próżni opisujące geometrię czasoprzestrzeni wokół obracającego się ważkiego ciała. Zostało ono znalezione w 1963 przez Roya P. Kerra, nowozelandzkiego matematyka[1].

Zgodnie z tą metryką obracające się ważkie ciało powinno wykazywać efekt Lense-Thirringa przewidujący, że materia w pobliżu masywnego wirującego obiektu musi się również obracać. Obrót taki nie jest spowodowany przez jakąkolwiek działającą na takie ciała siłą, lecz krzywizną czasoprzestrzeni. Metryka Kerra jest uogólnieniem metryki Schwarzschilda, opisującej geometrię czasoprzestrzeni wokół doskonale sferycznego, nieruchomego i obojętnego elektrycznie ciała. Innym tego typu rozwiązaniem jest odkryta w latach 1916–1918 metryka Reissnera-Nordströma. Metryka ta opisuje geometrię czasoprzestrzeni wokół nieruchomego, sferycznego, ale naładowanego elektrycznie ciała. W 1965 zostało odkryte najogólniejsze spośród tych trzech rozwiązań. Jest to metryka Kerra-Newmana, opisująca geometrię czasoprzestrzeni wokół obracającego się, naładowanego elektrycznie ciała. Relacje między tymi czterema metrykami są przedstawione w poniższej tabelce.

Brak obrotu (J = 0) Obrót (J ≠ 0)
Brak ładunku (Q = 0) Schwarzschild Kerr
Ładunek elektryczny (Q ≠ 0) Reissner-Nordström Kerr-Newman

Metryka Kerra modeluje obiekty astronomiczne posiadające spin i będące źródłem pola grawitacyjnego to znaczy ciała scharakteryzowane przez moment pędu oraz masę. W szczególności na przykład gwiazdy neutronowe i wirujące czarne dziury. Ciała te mają kilka różnych szczególnych powierzchni, na których metryka ma osobliwości.

Historia odkrycia metryki KerraEdytuj

W 1954 roku A.Z. Pietrow[2] wprowadza klasyfikację wszystkich możliwych symetrii tensora Weyla dla każdego zdarzenia w rozmaitości Lorentza. W 1956 F. Pirani analizuje promieniowanie grawitacyjne. Klasyfikacja Pietrowa stanowi podstawę jego artykułu na temat teorii promieniowania grawitacyjnego[3][4]. Rok później A. Trautman przedstawił pracę na temat własności tensora Weyla dla promieniowania grawitacyjnego[5].

W 1962 J. Goldberg i R.K. Sachs[6] pokazują, że jeśli tensor metryczny   rozmaitości   spełnia równanie Einsteina, to tensor krzywizny konforemnej utworzony z   jest „algebraicznie specjalny”. Obecnie wiadome jest, że wiele czasoprzestrzeni (jak na przykład czasoprzestrzenie Schwarzschilda[7][8], K. Gödla[9], Kerra[1] oraz fale o czołach płaskich i sferycznych) należy do tej klasy. Dla danej metryki na rozmaitości Lorentza   można obliczyć tensor Weyla   Jeśli tensor Weyla jest algebraicznie specjalny w punkcie   to istnieje zbiór kryteriów określający typ Pietrowa w   kryteria te znalezione są przez L. Bela w 1962[10][11]. W 1962 I. Robinson i A. Trautman[12][13] pokazują, że dla każdej przestrzeni Einsteina z zerową kongruencją bez ścinania istnieją współrzędne dla których metryka jest:

 

gdzie:

 
 
  jest funkcją  
  – parametr afiniczny.

Jedynym pozostającym równaniem jest:

 

W 1962 R. Kerr bada strukturę równań Einsteina, stosując metodę tetrad i form różniczkowych, zapisuje on równania krzywizny, stosując zespolone zerowe tetrady i samodualne biwektory, następnie bada warunki ich całkowania[14]. W 1963 Kerr decyduje się na szukanie wszystkich obracających się algebraicznie specjalnych czasoprzestrzeni[15]. Takie rozwiązanie równań Einsteina zostaje znalezione przez niego w 1963[15][16][17][18][19][20].

Czasoprzestrzeń KerraEdytuj

Niech   będzie pewną metryką taką, że:

 

Zachodzi następujące

Twierdzenie KerraEdytuj

Jeśli   jest stacjonarną, algebraicznie specjalną metryką, lub ogólniej rozwiązaniem następujących równań[21]:

 
 
 

gdzie:

  funkcje analityczne,
  funkcje pochodnych  
  parametr,
  funkcja masy,
  szczególne rozwiązanie równań  

wtedy również taką metryką jest

 

przy czym   dowolna stała,  

Twierdzenie 1[22]Edytuj

Niech   pole Killinga i   geodezyjna z wektorem stycznym (afiniczny wektor)   który spełnia   Wtedy   jest stałe wzdłuż  

Twierdzenie 2Edytuj

Jeżeli funkcje   są stałe wzdłuż kongruencji   to istnieje funkcja   taka, że:

 
 

przy czym granica jest brana wzdłuż kongruencji[23].

Twierdzenie RobinsonaEdytuj

Stacjonarne, osiowosymetryczne, asymptotycznie płaskie rozwiązania równań Einsteina w próżni, które zawierają gładki, wypukły horyzont, oraz nie posiadają żadnej osobliwości na zewnątrz horyzontu, są jednoznacznie określone przez masę   i moment pędu   przy czym  [24].

Twierdzenie HawkingaEdytuj

Jeśli czasoprzestrzeń jest stacjonarna, lecz nie statyczna w sąsiedztwie   oraz   wtedy wektor Killinga,   typu czasowego w nieskończoności, staje się typu przestrzennego blisko horyzontu zdarzeń[25][26].

Definicja czasoprzestrzeni KerraEdytuj

Czasoprzestrzeń asymptotycznie płaska, stacjonarna, osiowosymetryczna i TP-niezmiennicza nazywa się czasoprzestrzenią Kerra.

Czasoprzestrzeń Kerra posiada tensor Killinga[27] taki, że:

 

Istnienie tego tensora ułatwia obliczanie orbit w czasoprzestrzeni Kerra.

Różne postacie metryki KerraEdytuj

Metryka Kerra we współrzędnych   ma postać[28]:

 
 
 

Metryka (9) ma trzy wyrażenia pozadiagonalne.

Wektory   i   w tych współrzędnych są wektorami Killinga, gdyż metryka (9), nie zależy ani od   ani od   Każda kombinacja liniowa tych wektorów jest też wektorem Killinga. Składowe:   tej metryki posiadają nieciągłość w  

Skalar Kretschmanna   (  tensor krzywizny Riemanna), będący niezmiennikiem krzywiznowym jest

 

co gwarantuje, że nieciągłość położona w   dla   jest prawdziwą osobliwością nieusuwalną. Element liniowy (3) można przekształcić otrzymując:

 

to znaczy rozważany w twierdzeniu Kerra element liniowy.

Dla   metryka sprowadza się do metryki Schwarzschilda.

Współrzędne kartezjańskie Kerra-SchildaEdytuj

Transformacja współrzędnych

 
 
 

prowadzi do metryki Kerra-Schilda:

 

gdzie  (odległością od początku układu współrzędnych Minkowskiego) wyznacza się z

 

Dla   powierzchnie   są i elipsoidami obrotowymi, w płaszczyźnie   takimi, że:

 

które dla   stają się dyskiem   Pierścień   który jest brzegiem dysku, jest osobliwością nieusuwalna, gdyż skalar Kretschmanna jest tutaj nieskończony.Natomiast   Tę zmianę współrzędnych można również zapisać jako:

 
 

Istnieje również wektor Killinga typu czasowego   wektor Killinga związany z obrotami ma postać  

Gdy   metryka Kerra-Schilda przechodzi w metrykę Minkowskiego. Gdy   metryka Kerra-Schilda przechodzi w metrykę Schwarzschilda.

Współrzędne Boyera-LindquistaEdytuj

Następująca transformacja współrzędnych Kerra

 

oraz

 
 
 

prowadzi do metryki postaci:

 
 

We współrzędnych Boyera-Lindquista istnieje tylko jeden pozadiagonalny element w metryce. W metryce tej istnieje czasowy wektor Killinga   oraz obrotowy wektor Killinga   Co więcej, składowe metryki Kerra posiadają interesującą własność, jeśli     dwa wektory Killinga to zachodzi:

 
 
 

gdzie   oznacza Iloczyn skalarny.

Składowe metryki   są rozbieżne dla   składowa   jest rozbieżna dła   Skalar Kretschmanna   jest identyczny jak dla metryki we współrzędnych Kerra. Wskazując, że prawdziwa osobliwość jest położona na pierścieniu  

Dla   metryka przybiera postać:

 
 

Skąd wynika, że   jest masą i   jest momentem kątowym. Stosując współrzędne kartezjańskie, otrzymuje się w tym przybliżeniu metrykę:

 
 

identyczną z metryką Lensa-Thirringa[29]

 
 

gdzie   odpowiednio moment bezwładności i prędkość kątowa ciała.

Gdy   i   składowa   znika dla   Gdy zaś   składowa   jest rozbieżna. Składowe metryki Kerra wyrażone we współrzędnych Boyera-Lindquista są niezależne od czasu   i kąta obrotu   Stąd geometria czasoprzestrzeni jest stacjonarna i osiowosymetryczna. Składowe metryki Kerra posiadają interesującą własność, jeśli     dwa wektory Killinga to zachodzi:

 
 
 

gdzie   oznacza Iloczyn skalarny.

Własności geometrii czasoprzestrzeni KerraEdytuj

Czasoprzestrzeń Kerra charakteryzuje się pewnymi szczególnymi własnościami, które nie występują w czasoprzestrzeni Schwarzschilda. Rozwiązanie Kerra jest uogólnieniem rozwiązania Schwarzschilda. W granicy, gdy   (granica Schwarzschilda), rozwiązanie to przechodzi w rozwiązanie Schwarzschilda. Czasoprzestrzeń wokół obracającego się wokół własnej osi masywnego obiektu opisuje metryka Kerra. Ze względu na parametr   należy rozważać trzy ważne przypadki:

  1.  
  2.   – przypadek ekstremalny,
  3.   – goła osobliwość. Istnieje kilka ważnych powierzchni, które otaczają masywny obracający się obiekt.

Horyzont zdarzeńEdytuj

O promieniu:   gdzie  (w jednostkach geometrycznych  ). Horyzont zdarzeń działa jak przepuszczająca w jednym kierunku membrana. Każde ciało znajdujące się na zewnątrz horyzontu   może przez niego przeniknąć, lecz żaden obiekt, który przez niego przeszedł (obszar  ), nie może już się stąd wydostać na zewnątrz (obszar  ). Promień tej powierzchni zależy od momentu pędu   im szybciej obraca się gwiazda (masywny obiekt), tym mniejszy jest promień   horyzontu zdarzeń i powierzchnia horyzontu zdarzeń jest mniejsza. Gdy   moment pędu gwiazdy jest zerowy, gwiazda się nie obraca. Jej horyzont pokrywa się z horyzontem zdarzeń czarnej dziury Schwarzschilda. Promień wynosi   Gdy   moment pędu gwiazdy jest największy,   wtedy promień horyzontu zdarzeń jest   i jest najmniejszy z możliwych, mniejszy również od horyzontu Schwarzschilda wokół czarnej dziury o takiej samej masie.

Jeśli   czyli moment pędu przekracza pewną określoną wartość,   wtedy wielkość horyzontu zdarzeń jest określona przez wartość zespoloną   której część rzeczywista równa   określa jego promień. Przypadek ten można rozważać jako niefizyczny na mocy sformułowanej przez Rogera Penrose’a hipotezy kosmicznej cenzury, wedle której osobliwości bez horyzontu miałyby nie istnieć. Według niektórych autorów w zakresie dopuszczalnych wartości momentu pędu istnieje również drugie rozwiązanie określające promień drugiego horyzontu istniejącego równocześnie z opisanym wcześniej. Ten drugi horyzont miałby mieć promień:   W zakresie momentów pędów takich, że   w rotującej czarnej dziurze istnieją zatem dwa rozwiązania skrywające środek gwiazdy, natomiast przy przekroczeniu największej wartości parametru   liczba horyzontów redukuje się do jednego. Ten horyzont w rozwiązaniu Kerra uniemożliwiłby nie tylko bezpośrednią obserwację osobliwości, ale podobno ze względu na kształt potencjału efektywnego opisującego ruch cząstki próbnej wzdłuż współrzędnej radialnej miałby tworzyć jednocześnie barierę nie przepuszczającą do wnętrza czarnej dziury cząstek elementarnych, jak można przypuszczać – o określonym zakresie energii.

Zasada kosmicznego cenzoraEdytuj

Jakiekolwiek całkowite grawitacyjne zapadanie się ciała nigdy nie doprowadzi do utworzenia nagiej osobliwości. Wszystkie osobliwości są ukryte za horyzontem zdarzeń, wewnątrz czarnej dziury. Osobliwości te nie będą widziane przez zewnętrznych dalekich obserwatorów[30].

Ściślejszy matematycznie wywód na temat horyzontu zdarzeń jest przedstawiony poniżej.

Powierzchnia horyzontu zdarzeńEdytuj

Horyzonty zdarzeń wyznacza się, szukając hiperpowierzchni danych warunkiem   czyli gdy kontrawariantna składowa metryki   znika. Stosując współrzędne Boyera-Lindquista, otrzymujemy:

 

Tak więc

 

Oznacza to, że w czasoprzestrzeni Kerra istnieją dokładnie dwa horyzonty zdarzeń: zewnętrzny, opisany równaniem   i wewnętrzny, opisany równaniem   gdzie:

 

Im moment pędu   czarnej dziury Kerra jest większy, tym mniejszy jest promień horyzontu zdarzeń w czasoprzestrzeni Kerra. W granicy Schwarzschilda   horyzonty te redukują się do   oraz  

Osobliwość czasoprzestrzeni Kerra[31]Edytuj

Obliczenie niezmiennika krzywiznowego   pokazuje, że czasoprzestrzeń Kerra posiada prawdziwą osobliwość krzywiznową usytuowaną na pierścieniu   o promieniu   w płaszczyźnie równikowej   Osobliwość ta jest schowana za wewnętrznym horyzontem zdarzeń określonym przez   i przez to jest niewidzialna dla zewnętrznego obserwatora.

Następną powierzchnią charakteryzującą czasoprzestrzeń Kerra jest ergosfera.

ErgosferaEdytuj

W obszarze   to jest na zewnątrz horyzontu zdarzeń nie jest możliwa równowaga statyczna. Obserwuje się tu efekt Lensa-Thirringa. Każdy obserwator jest tu wleczony razem z czasoprzestrzenią wokół centralnego wirującego ciała. Kierunek jego obrotu jest ten sam jaki ma ciało centralne. Obszar ten nazywa się ergoregionem (lub ergoobszarem) i jest ograniczony powierzchnią zwaną ergosferą (często dla prostoty ergoobszar nazywa się po prostu ergosferą). Nazwa ergosfera (gr. ergon- praca, energia) została wprowadzona przez R. Ruffiniego i J.A. Wheelera[32]. Penrose przypuszcza, że istnieje pewien proces, pozwalający na odzyskanie energii z czarnej wirującej dziury i stąd bierze się jej nazwa. Ergosfera jest elipsoidą obrotową, która na biegunach   styka się z horyzontem zdarzeń. Promień ergosfery zależy od kąta   i jest równy

 

Gdy   to   a więc ergosfera pokrywa się z horyzontem zdarzeń czasoprzestrzeni Schwarzschilda. Gdy   to na płaszczyźnie równikowej (dla  ),   oraz na biegunach   gdzie też ergosfera ulega spłaszczeniu. Na rys. 1 przedstawione są dwie powierzchnie otaczające czarną obracającą się dziurę, horyzont zdarzeń i powierzchnia ergosfery.

 
Dwie powierzchnie, na których metryka Kerra posiada osobliwości. Wewnętrzna powierzchnia jest sferyczna horyzont zdarzeń, podczas gdy zewnętrzna powierzchnia jest to elipsoida. Ergosfera leży między tymi dwoma powierzchniami; wewnątrz tej objętości, czysto czasowa składowa gtt jest ujemna, tj. działa jako czysto przestrzenna składowa metryki. Cząstki wewnątrz ergosfery muszą dokonywać obrotu razem z obracającą się wewnętrzną masą

Granica stacjonarna jako zewnętrzna powierzchnia ergosferyEdytuj

Niech   Jedną z własności metryki Kerra jest obecność granicy stacjonarnej. Jest to powierzchnia będąca brzegiem obszaru w którym cząstki poruszające się po krzywych typu czasu, pozostając w spoczynku w stosunku do dalekiego obserwatora w nieskończoności, mogą poruszyć się po orbitach wektora Killinga. To znaczy, że na tej powierzchni, ciała poruszające się z prędkościę światła w próżni są stacjonarne w relacji z nieskończenie dalekim obserwatorem. Powierzchnia granicy stacjonarnej czasoprzestrzeni Kerra (zwana też powierzchnią ergosfery) jest powierzchnią czasową wszędzie z wyjątkiem dwóch punktów położonych na osi   W punktach tych ergosfera styka się z zewnętrznym horyzontem zdarzeń. Natomiast tam wszędzie gdzie powierzchnia jest typu czasowego, cząstki mogą przez nią przechodzić w obu kierunkach. To znaczy, że każde ciało znajdujące się w ergosferze może z tej ergosfery uciec. Powierzchnia ta zadana jest warunkiem:

 

gdzie   jest składową kowariantną tensora metrycznego.

We współrzędnych Boyera-Lindquista:

 

więc

 
 

Istnieją dwie powierzchnie ergosfery: zewnętrzna opisana równaniem   oraz wewnętrzna   Obszar między   a   nazywa się ergosferą.Powierzchnie ergosfery zależą od trzech parametrów: masy, momentu obrotowego i kąta   Na płaszczyźnie równikowej powierzchnia zewnętrzna jest największa, jest ona   (ten sam wynik otrzymuje się w granicy Schwarzschilda  ), równocześnie w tym przypadku powierzchnia wewnętrzna znika   Na biegunach   powierzchnie ergosfery dane są równaniem   (w granicy Schwarzschilda znowu   i  ). Można łatwo się przekonać, że zewnętrzna powierzchnia ergosfery jest powierzchnią spłaszczonej elipsoidy obrotowej (rysunek). W obszarze   czyli na zewnątrz ergosfery wektor Killinga   dla dalekiego obserwatora w nieskończoności, wskazuje kierunek utożsamiany z upływem czasu. Na powierzchni   wektor Killinga jest typu zerowego. W obszarze   (wnętrze ergosfery) wektor Killinga jest typu przestrzennego.

Obserwator znajdujący się w tym obszarze, jest wleczony razem z całą otaczającą go materią wokół wirującego centralnego ciała, czyli zachodzi efekt Lensa-Thirringa.

Powierzchnia przesunięcia ku czerwieniEdytuj

Powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni dana jest warunkiem   We współrzędnych Boyera-Lindquista   Zatem powierzchnie nieskończonego przesunięcia ku czerwieni pokrywają się z powierzchniami zewnętrznej i wewnętrznej ergosfery

 

w przeciwieństwie do przypadku czasoprzestrzeni Schwarzschilda. W rozwiązaniu Schwarzschilda powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni   i horyzont zdarzeń   pokrywają się, w rozwiązaniu Kerra powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni   i horyzont zdarzeń   są różne[28]. Horyzont zdarzeń w czasoprzestrzeni Kerra jest mniejszy aniżeli horyzont zdarzeń w czasoprzestrzeni Schwarzschilda.

Proces Penrose’aEdytuj

Z nieskończenie dalekiego laboratorium wysyłamy do ergosfery złożoną czasteczkę   Cząsteczka ta o energii   i momencie obrotowym   (  4-wektor momentu cząsteczki) rozpada się na dwie cząstki   i   Zgodnie z zasadą zachowania energii, pędu i momentu pędu     Ponieważ   jest typu przestrzennego, a więc można tak wybrać   że   Energia   jest mierzona przez obserwatora w nieskończenie dalekim obserwatorium, wektor Killinga jest dla dalekiego obserwatora typu czasowego. Natomiast dla obserwatora w ergosferze energia   jest dodatnia. Iloczyn skalarny wektora typu przestrzennego i typu czasowego może być ujemny. Cząsteczka   wpada do czarnej dziury, przekraczając horyzont zdarzeń i nie może się stąd wydostać, gdyż powierzchnia horyzontu zdarzeń działa jak półprzepuszczalna membrana. Cząsteczka   wylatuje z powrotem z ergosfery, niosąc ze sobą więcej energii niż przyniosła pierwotna cząstka   Jej energia wynosi teraz  [33][34].

Relacje między powierzchniamiEdytuj

Relacje między powierzchniami ergosfery i powierzchniami horyzontów zdarzeń są następujące:

 

oraz

 
 

Powierzchnia   dotyka pierścieniową powierzchnię osobliwości w   i   Powierzchnie horyzontów leżą więc pomiędzy powierzchniami nieskończonego przesunięcia ku czerwieni (pomiędzy powierzchniami zewnętrznej i wewnętrznej egosfery).

Charakterystyki czasoprzestrzeni KerraEdytuj

Zależności
Powierzchnia horyzontów zdarzeń  
Powierzchnia ergosfery zewnętrznej  
Powierzchnia ergosfery wewnętrznej  
Półosie elipsoidy obrotowej  
Mimośród  
Skalar Ricciego na równiku  
Skalar Ricciego na biegunach  

Powierzchnie czasoprzestrzeni Kerra dla różnych parametrówEdytuj

Powierzchnie czasoprzestrzeni Kerra dla różnych parametrów  
     
     
     

Regularność rozwiązań KerraEdytuj

Rozwiązanie Kerra jest regularne w trzech obszarach:

 
 
 
 
Diagram sklejania obszarów  
 
Struktura rozwiązania Kerra

Obszar   jest stacjonarny, asymptotycznie płaski na zewnątrz horyzontu zdarzeń  

Obszar   nie jest stacjonarny.

Obszar   zawiera:

  • osobliwość pierścieniową,
  • zamknięte krzywe czasowe.

Wektor Killinga w tym obszarze jest typu czasowego. Krzywe czasowe są zamknięte przez co przyczynowość nie jest spełniona. Jeśli bowiem krzywe te reprezentują linie świata obserwatorów, to podróżujący w kierunku przyszłości obserwator spotka się sam ze sobą w przeszłości.

UwagaEdytuj

W obszarach   i   brak jest pogwałcenia przyczynowości.

Struktura rozmaitościEdytuj

Sklejając odpowiednio obszary   otrzymuje się rozmaitość  [35][36][37][38].

  1. Do obszaru   można dokleić przy   dwa obszary typu   co odpowiada dla   białej dziurze, a przy   czarnej dziurze.
  2. Do obszaru   można dokleić
    1. dwa obszary   gdzie  
    2. dwa obszary   gdzie  
  3. do obszaru   można dokleić dwa obszary   przy   Można skonstruować wielospójne rozwiązanie Kerra dla każdego punktu   kładąc:
 

Istnieją następujące zbiory możliwych przejść w przyszłość po liniach typu czasowego:

 
 
 

Wielospójna rozmaitość   pozwala na istnienie cykli czasowych, których początek i koniec należą do obszaru   to znaczy do obszaru zewnętrznego obserwatora[39]. W ten sposób w rozmaitości niejednospójnej   znajdują się cykle typu czasowego, które zaczynają się i kończą w obszarze   obserwatora zewnętrznego.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b R.P. Kerr, Phys.Rev.Letters vol. 11(1963), s. 238–239.
  2. A.Z. Petrov, 1954, Classification of spaces defined by gravitational fields, Uch. Zapiski Kazan Gos. Univ. 144, 55 (English translation Gen. Rel. Grav. 32 (2000) 1665).
  3. F.A.E. Pirani, On the physical significance of the Riemann tensor, Acta Phys. Polon. 15, 389 (1956).
  4. F.A.E. Pirani, Invariant formulation of gravitational radiation theory, Phys.Rev. (1957) 105, 1089.
  5. A. Trautman, Radiation and boundary conditions in the theory of gravitation, Bull.Acad.Pol.Sci., Serie sci.math., astr.et phys. VI(1958), s. 407–412.
  6. J.N. Goldberg, R.K. Sachs, A theorem on Petrov Types, Acta Phys. Polon., Suppl. 22 (1962), 13.
  7. K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Sitzber. Deut.Akad.Wiss.Berlin, Kl.Math.-Phys.Tech. (1916), s. 189–196.
  8. K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie, Sitzber. Deut.Akad.Wiss.Berlin, Kl.Math.-Phys.Tech. (1916), s. 424–434.
  9. K. Gödel, An example of new type of cosmological solution of Einstein’s field equations of gravitations, Rev. Mod.Phys.21 (1949), s. 447–450.
  10. L. Bel, Cah. de Phys. 16(1962)59.
  11. L. Bel, Cah. de Phys. n. 138 (1962), s. 59–81.
  12. I. Robinson, A. Trautman, Some spherical gravitational waves in general relativity, Proc. Roy. Soc. Lond. A (1962), 265, 463.
  13. H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, s. 421, ISBN 0-521-46136-7.
  14. H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, s. 407–419, ISBN 0-521-46136-7.
  15. a b Kerr 2008 ↓, s. 7.
  16. R.P. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys. Rev. Lett. 11, (1963), 237.
  17. H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2003, ISBN 0-521-46136-7.
  18. Andrzej Krasiński, Enric Verdaguer, Roy Patrick Kerr, Editorial note to: R.P. Kerr and A. Schild, A new class of vacuum solutions of the Einstein field equations, „General Relativity and Gravitation”, 41 (10), 2009, s. 2469–2484, DOI10.1007/s10714-009-0856-0, ISSN 0001-7701 (ang.).
  19. M. Head: http:// www.listener.co.nz/ issue/ 3359/ features/ 2629/ man_of_mystery.html.
  20. R.P. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys.Rev.Lett.11, (1963), 237.
  21. Kerr 2008 ↓, s. 15.
  22. M. Ludvigsen, General Relativity. A Geometric Approach, Cambridge University Press, 1999, tł. franc. La Relativité Générale. Une approche géométrique, Préface de R. Penrose, Dunod, Paris 2005, s. 139, ISBN 2-10-049688-3.
  23. M. Ludvigsen, General Relativity. A Geometric Approach, Cambridge University Press, 1999, tł. franc. La Relativité Générale. Une approche géométrique, Préface de R. Penrose, Dunod, Paris 2005, s. 141, ISBN 2-10-049688-3.
  24. D.C. Robinson, 1975, Phys.Rev.Lett. 34, s. 901.
  25. S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, 1973, ISBN 0-521-09906-4, s. 326.
  26. M. Demiański, Relatyvistic astrophysics, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1985, Pergamon Press, Oxford, New York, Toronto, Paris, Frankfurt, s. 182, ISBN 83-01-04352-0.
  27. Ludvigsen, General Relativity. A Geometric Approach, Cambridge University Press, 1999, La Relativite generale, R. Penrose preface, Dunod Paris, 2005, s. 179, ISBN 2-10-049688-3.
  28. a b Visser 2008 ↓.
  29. B. Léauté, Etude de la métrique de Kerr, Ann.I.H.P., sec. A, tome 8, no.1 (1968), s. 93–115.
  30. R. Wald, General Relativity, s. 302–305, The University of Chicago Press, Chicago and London, ISBN 0-226-87033-2.
  31. Kerr 2008 ↓, s. 21.
  32. R. Ruffini, J.A. Wheeler, „Relativistic cosmology and space platforms”, Proceedings of the Conference on Space Physics, European Space Research Organisation, Paris, France, s. 45–174.
  33. M. Demiański, Relativistic astrophysics, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1985, Pergamon Press, Oxford, New York, Toronto, Paris, Frankfurt, s. 186–187, ISBN 83-01-04352-0.
  34. R. Penrose, R.M. Floyd, 'Extraction of rotational energy from a black hole’, Nature, 229, 177-9.
  35. Jelle P. Boersma, Time orientable identification of the Kruskal manifold, „Physical Review D”, 55 (4), 1997, s. 2174–2176, DOI10.1103/PhysRevD.55.2174.
  36. A.E.I. Johansson, H. Umezawa, Y. Yamanaka, Dissipation of interacting fields in the presence of black holes, „Classical and Quantum Gravity”, 7 (3), 1990, s. 385–390, DOI10.1088/0264-9381/7/3/012, ISSN 0264-9381 (ang.).
  37. S. Shankaranarayanan, K. Srinivasan, T. Padmanabhan. Method of complex paths and general covariance of Hawking radiation. „Modern Physics Letters A”. 16 (09), s. 571–578, 2001-03-21. DOI: 10.1142/S0217732301003632. arXiv:gr-qc/0007022. (ang.). 
  38. B. Dubrovine, S. Novikov, A. Fomenko, Géomètrie Contemporaine. Méthodes et Applications, 2 partie: Geomètrie et topologie des variétés: ed. Mir, Moscou (1982).
  39. B. Carter, Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis of Kerr s Solution of Einstein’s Equations, Phys.Rev. vol. 141, Issue 4 (1965), s. 1242–1247.

BibliografiaEdytuj

  • M. Demiański, Relatyvistic astrophysics, Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1985, Pergamon Press, Oxford, New York, Toronto, Paris, Frankfurt, ISBN 83-01-04352-0.
  • B. Dubrovine, S. Novikov, A. Fomenko, Géomètrie Contemporaine. Méthodes et Applications, 2 partie: Geomètrie et topologie des variétés.Méthodes et Applications 2 partie: Geomètrie et topologie des variétés, editions Mir, Moscou 1982.
  • S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The large scale structure of space-time, Cambridge University Press 1973, ISBN 0-521-09906-4.
  • Roy P. Kerr, Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics, „arXiv:gr-qc”, 14 stycznia 2008, arXiv:0706.1109v2 [gr-qc] (ang.).
  • W. Kopczyński, A. Trautman, Spacetime and Gravitation, J. Wilez&Sons, Chichester, New York, Toronto, Singapore, Wyd. PWN Polish Scientific Publishers, Warszawa 1992, ISBN 83-01-09995-X.
  • J. Plebański, A. Krasiński, An Introduction to general relativity and cosmology, Cambridge University Press 2006, ISBN 978-0-521-85623-2.
  • H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-46136-7.
  • E.F. Taylor, J.A. Wheeler, Exploring Black Holes, Introduction to General Relativity, Princeton University Press, 2000, ISBN 0-201-38423-X.
  • R.M. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press, Chicago and London 1984, ISBN 0-226-87033-2.
  • W. Thirring, Fizyka matematyczna, t. 2, Klasyczna teoria pola, tł. S. Bażański, t. 2, Wyd. PWN, Warszawa 1985, ISBN 83-01-04349-0.
  • Matt Visser, The Kerr spacetime: A brief introduction, „arXiv:gr-qc”, 15 stycznia 2008, arXiv:0706.0622v3 [gr-qc] (ang.).