Metryka probabilistyczna

Metryka probabilistycznafunkcja definiująca odległość pomiędzy zmiennymi bądź wektorami losowymi. Funkcja ta nie jest, jak sugeruje nazwa, metryką, gdyż nie spełnia jej pierwszego aksjomatu, jakim jest identyczność przedmiotów nierozróżnialnych. Należy jednak zauważyć, że funkcja ta jest metryką w przestrzeni probabilistycznej, co więcej, jest to metryka wyznaczona przez normę tej przestrzeni.

Zmienne losoweEdytuj

Metryka probabilistyczna   pomiędzy dwiema zmiennymi losowymi   i   o ciągłych rozkładach gęstości prawdopodobieństwa jest zdefiniowana jako:

 

gdzie   oznacza łączną gęstość prawdopodobieństwa zmiennych losowych   i   Jeżeli   i  niezależne, to:

 

gdzie   i   oznaczają odpowiednie funkcje gęstości prawdopodobieństwa zmiennych   i  

W przypadku dyskretnych zmiennych losowych metryka probabilistyczna przyjmuje postać:

 

Można wykazać, że taka metryka probabilistyczna nie spełnia pierwszego warunku metryki, lub też spełnia go wtedy i tylko wtedy, jeżeli oba jej argumenty to zmienne pewne opisywane funkcją gęstości prawdopodobieństwa typu delty Diraca. W takim przypadku:

 

metryka probabilistyczna zwyczajnie staje się metryką pomiędzy wartościami średnimi     zmiennych   i   i:

 

We wszystkich pozostałych przypadkach:

 

MP spełnia pozostałe aksjomaty metryki: jest symetryczna bezpośrednio z definicji i spełnia nierówność trójkąta:

 

Zatem:

 

 

 
Metryka probabilistyczna pomiędzy dwiema zmiennymi losowymi   i   o normalnych rozkładach gęstości prawdopodobieństwa i tym samym odchyleniu standardowym   (poczynając od krzywej u dołu).   oznacza odległość pomiędzy wartościami oczekiwanymi zmiennych   i  

PrzykładyEdytuj

Załóżmy, że mamy zmierzyć odległość pomiędzy punktem   a punktem   a punkty te są współliniowe z pewnym punktem  

Załóżmy dalej, że pomiary odległości pomiędzy   a   i pomiędzy   a   zostały dokonane przez dwie niezależne grupy eksperymentatorów z użyciem taśmy mierniczej.

Przy powyższych założeniach pomiary każdej z grup eksperymentatorów można traktować jako zmienne losowe   i   skupione wokół faktycznych położeń punktów odpowiednio   i  

Zakładając dalej, że oba rozkłady zmiennych losowych   i  normalne (N), a ich odchylenie standardowe   jest to samo, całkowanie   prowadzi do:

 

gdzie:

 

a   jest uzupełniająca funkcją błędu.

W tym przypadku „wartość zerowa” metryki   wynosi:

 

co oznacza, że w sensie statystycznym odległość pomiędzy tą samą zmienną losową   jest niezerowa i zależy wyłącznie od typu jej rozkładu i stopnia jego rozproszenia.

Gdy obie zmienne   i   określa rozkład jednostajny (R) o tym samym odchyleniu standardowym   całkowanie   prowadzi do:

 

Minimalna wartość metryki probabilistycznej tego typu wynosi:

 

Dla dwóch dyskretnych zmiennych losowych   i   mających rozkład Poissona metryka probabilistyczna przyjmuje postać:

 

Wektory losoweEdytuj

 
powierzchnia równej odległości dla metryki euklidesowej  
 
powierzchnia równej odległości dla euklidesowej metryki probabilistycznej  

Metrykę probabilistyczną zmiennych losowych można rozszerzyć na metrykę   wektorów losowych   podstawiając w miejsce   dowolny operator metryki  

 

gdzie   oznacza łączną gęstość prawdopodobieństwa wektorów losowych   i   Na przykład podstawiając w miejsce   metrykę euklidesową i przy założeniu, że wektory   i   są wzajemnie niezależne otrzymamy:

 

gdzie   i   to wielowymiarowe rozkłady gęstości prawdopodobieństwa wektorów np. wielowymiarowe rozkłady normalne.

Forma euklidesowaEdytuj

Jeżeli wektory   i   są nie tylko wzajemnie niezależne, ale także poszczególne składowe każdego z nich są statystycznie niezależne, metrykę probabilistyczną wektorów losowych można także zdefiniować jako:

 

gdzie   jest szczególną formą metryki probabilistycznej zmiennych losowych dobraną w zależności od rozkładów poszczególnych składowych     wektorów  

Interpretacja fizycznaEdytuj

Metrykę probabilistyczną można traktować jako odległość cząstek w mechanice kwantowej, gdzie każdej cząstce odpowiada zespolona funkcja falowa   zależna od współrzędnych przestrzennych, a prawdopodobieństwo   tego, że cząstka znajduje się w danym elemencie przestrzeni   wynosi:

 

Cząstka w studni potencjałuEdytuj

Rozważmy cząstkę   znajdującą się w jednowymiarowej studni potencjału o szerokości   Jeżeli funkcja falowa tej cząstki ma postać:

 

to odległość tej cząstki od dowolnego punktu   studni wynosi:

 

Z właściwości metryki probabilistycznej wynika, że suma odległości pomiędzy krawędzią studni (  lub  ) a danym punktem i metryki probabilistycznej pomiędzy danym punktem a cząstką jest różna od metryki probabilistycznej pomiędzy krawędzią studni a cząstką. Na przykład dla cząstki kwantowej na poziomie energetycznym  

 

Metryka probabilistyczna cząstki kwantowej od krawędzi studni jest przy tym niezależna od energii cząstki i wynosi zawsze  

Dwie cząstki w studni potencjałuEdytuj

Wzajemną odległość dwóch cząstek     znajdujących się w jednowymiarowej studni potencjału o szerokości   dla których funkcje falowe mają postać:

 
 

można wyrazić za pomocą metryki probabilistycznej zmiennych niezależnych jako:

 

Odległość między cząstkami jest najmniejsza dla   i   czyli dla minimalnej energii cząstek   i   i wynosi:

 

Zgodnie z właściwościami metryki probabilistycznej odległość ta jest niezerowa. Dla wyższych poziomów energii     zmierza do  

Linki zewnętrzneEdytuj