Otwórz menu główne

Miara niezmienniczamiara zachowywana przez pewną funkcję. Są one szczególnym obszarem zainteresowań w studiach nad układami dynamicznymi. Twierdzenie Kryłowa-Bogolubowa mówi o istnieniu miar niezmienniczych pod pewnymi warunkami względem danych: funkcji i przestrzeni.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią mierzalną i dana będzie funkcja mierzalna   O mierze   określonej na   mówi się, że jest niezmiennicza ze względu na   jeżeli dla każdego zbioru mierzalnego   zachodzi

 

Rodzinę miar (zwykle probabilistycznych, np. rozkładów prawdopodobieństwa) niezmienniczych na   oznacza się czasami symbolem   Rodzina miar ergodycznych,   jest podzbiorem   Co więcej, dowolna kombinacja wypukła dwóch miar niezmienniczych również jest miarą niezmienniczą, zatem   jest zbiorem wypukłym;   składa się dokładnie z punktów ekstremalnych  

W przypadku układu dynamicznego   gdzie   jest przestrzenią mierzalną jak wyżej,   jest monoidem, a   jest odwzorowaniem przepływu (operatorem rozwiązania), to   określoną na   nazywa się miarą niezmienniczą, gdy jest ona niezmiennicza dla każdego odwzorowania   Dokładniej,   jest niezmiennicza wtedy i tylko wtedy, gdy

 

Innymi słowy   jest miarą niezmienniczą ciągu zmiennych losowych   (np. łańcuchem Markowa lub rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego), jeżeli zachodzi wynikanie: jeśli   jest rozkładem warunku początkowego   to jest ona też rozkładem   dla dowolnego późniejszego czasu  

PrzykładyEdytuj

  • Rozważmy prostą rzeczywistą   z jej standardowym σ-ciałem borelowskim; ustalając   weźmy przekształcenie przesunięcia   dane wzorem:
     
Wówczas jednowymiarowa miara Lebesgue’a   jest niezmiennicza względem  
  • Ogólniej, w  -wymiarowej przestrzeni euklidesowej   z jej standardową σ-algebrą borelowską  -wymiarowa miara Lebesgue’a   jest niezmiennicza względem dowolnej izometrii przestrzeni euklidesowej, tzn. przekształcenia   które może być zapisane wzorem
     
gdzie   jest pewną macierzą ortogonalną stopnia   a   wektorem z  
  • Miara niezmiennicza z pierwszego przykładu jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do trywialnej renormalizacji o stały czynnik. Jednak nie jest to przypadek ogólny: rozważmy następujący zbiór dwuelementowy   oraz przekształcenie identycznościowe   na tym zbiorze. Wówczas dowolna miara probabilistyczna   jest niezmiennicza. Zauważmy też, że   ma w trywialny sposób podział na  -niezmiennicze składowe   oraz