Miara spektralna – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.

Definicja

edytuj

Niech   będzie przestrzenią topologiczną,   σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Dalej, niech   będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech   oznacza przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych przestrzeni  

Funkcję   nazywamy miarą spektralną w przestrzeni   wtedy i tylko wtedy, gdy:

  1.   jest operatorem rzutowym dla  
  2.  
  3.  
  4. Funkcja   jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Własności

edytuj
  • Gdy   oraz   to   w sensie   Ponieważ   więc z powyższego wynika, że   – operator   rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni  
  • Jeżeli   oraz   to równość   określa przeliczalnie addytywną miarę wektorową o wahaniu ograniczonym przez  

Przykład

edytuj

Niech   będzie przestrzenią zwartą oraz   – σ-ciałem zbiorów borelowskich tej przestrzeni. Jeśli   jest miarą oraz   oznacza przestrzeń funkcji przestrzeni   całkowalnych z kwadratem w sensie   to funkcja dana wzorem   jest miarą spektralną, gdzie   oznacza funkcję charakterystyczną.

Zobacz też

edytuj

Bibliografia

edytuj
  • Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.