Minimalne drzewo rozpinające

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu teoria grafów.

Najważniejsze pojęcia graf drzewo podgraf cykl klika stopień wierzchołka stopień grafu dopełnienie grafu obwód grafu pokrycie wierzchołkowe liczba chromatyczna indeks chromatyczny izomorfizm grafów homeomorfizm grafów więcej... Wybrane klasy grafów graf pełny graf spójny drzewo graf dwudzielny graf regularny graf eulerowski graf hamiltonowski graf planarny więcej... Algorytmy grafowe A* Bellmana-Forda Dijkstry Fleury'ego Floyda-Warshalla Johnsona Kruskala Prima przeszukiwanie grafu – wszerz – w głąb najbliższego sąsiada Zagadnienia przedstawiane jako problemy grafowe problem komiwojażera problem chińskiego listonosza problem marszrutyzacji problem kojarzenia małżeństw Inne zagadnienia kod Graya diagram Hassego kod Prüfera

Minimalne drzewo rozpinające (ang. MST, minimum spanning tree) – drzewo rozpinające danego grafu o najmniejszej z możliwych wag, tj. takie, że nie istnieje dla tego grafu inne drzewo rozpinające o mniejszej sumie wag krawędzi.

Definicja formalna

Dany jest graf ważony G(V, E, w), gdzie V – zbiór wierzchołków, E – zbiór krawędzi, w – funkcja przypisująca krawędzi E_i wagę (liczbę rzeczywistą lub całkowitą).

Minimalnym drzewem rozpinającym nazywamy drzewo rozpinające T, dla którego suma wag

$\sum _{e\in T}w(e)$

jest najmniejsza z możliwych. Dla niektórych grafów można wskazać wiele drzew rozpinających spełniających tę własność.

Istnieją trzy deterministyczne algorytmy o złożoności liniowo-logarytmicznej znajdujące dla zadanego grafu minimalne drzewo rozpinające. Są to:

• algorytm Borůvki (błędnie nazywany algorytmem Sollina),
• algorytm Prima (nazywany też algorytmem Dijkstry-Prima),
• algorytm Kruskala.