Mnożniki Lagrange’a

Mnożnik Lagrange’a – metoda obliczania ekstremum warunkowego funkcji różniczkowalnej wykorzystywana w teorii optymalizacji. Nazwa metody pochodzi od nazwiska matematyka Josepha Louisa Lagrange’a.

Sformułowanie i analiza problemuEdytuj

Szukanie ekstremów warunkowych funkcji   z warunkiem zerowania   będących zarazem punktami regularnymi[1], sprowadza się do rozwiązania układu równań operatorowych

 

gdzie   Wiadomo, że każdy taki funkcjonał   jest reprezentowany przez układ   liczb rzeczywistych   a pochodna   jest macierzą wymiaru   rzędu  [1]. Układ równań operatorowych sprowadza się więc do układu   równań skalarnych:

 

gdzie   o   zmiennych   Wszystkie punkty, w których funkcja może przyjmować ekstrema warunkowe, należą do zbioru rozwiązań tego układu równań. Liczby   spełniają tylko rolę pomocniczą i nazywane są często mnożnikami Lagrange’a. Po znalezieniu punktów spełniających warunek konieczny dla ekstremum, należy odwołać się do warunku wystarczającego, tj. zbadać dodatnią (ujemną) określoność

 

dla

 

co sprowadza się do badania formy kwadratowej

 

gdzie:

 

Warunek   jest równoważny równaniu

 

które w postaci macierzowej przybiera formę

 

Do badania określoności tej macierzy można stosować kryterium Sylvestera.

W praktyce, gdy   wprowadzamy funkcję pomocniczą

 

i szukamy dla niej warunków koniecznych na istnienie jej ekstremów, jako funkcji dwóch zmiennych[2], tj. rozwiązaniu układu równań   a następnie wyrugowaniu z tego układu równań czynnika nieoznaczonego  
Do otrzymanego warunku dołączamy warunek   Równoważnie, wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi można wyznaczyć z układu równań

 

gdzie   oznacza jakobian funkcji   i  

Przykład – ekstrema funkcji na okręguEdytuj

 
Wykresem funkcji   jest płaszczyzna. W przestrzeni trójwymiarowej równanie   powierzchnię boczną walca (którego podstawą jest leżący na płaszczyźnie   okrąg jednostkowy). Badanie istnienia ekstremów warunkowych sprowadza się w tym wypadku do analizy punktów ekstremalnych części wspólnej walca i płaszczyzny.

Ilustracją zastosowania metody mnożników Lagrange’a jest problem wyznaczenia ekstremów funkcji:

 

na okręgu jednostkowym, tj. przy warunku

 

Zatem funkcja   jest postaci

 

a funkcja   wyraża się wzorem:

 

Wszystkie punkty, które mogą być ekstremami warunkowymi są rozwiązaniami układu równań

 

Przy założeniu   z pierwszego równania uzyskujemy   analogicznie z drugiego   więc   oraz dostaje się warunek   skąd wynika   Funkcja   może zatem przyjmować ekstrema tylko w punktach   Ponieważ okrąg jest zbiorem domkniętym i ograniczonym (czyli zwartym[3]), więc na mocy twierdzenia Weierstrassa, funkcja   osiąga w tych punktach ekstrema (warunkowe):

  • minimum warunkowe:  
  • maksimum warunkowe:  

Warto zauważyć, że funkcja   określona na całej płaszczyźnie (bez dodatkowego warunku) nie ma ekstremów.

Przykład – problem maksymalnej entropiiEdytuj

Problem polega na znalezieniu dyskretnego rozkładu zmiennej losowej maksymalizującego entropię. Funkcja entropii prawdopodobieństw   wyraża się wzorem

 

Oczywiście, suma prawdopodobieństw   jest równa jeden, więc warunek na   przyjmuje postać

 

Stosując metodę mnożników Lagrange’a, dostajemy układ   równań:

 

który sprowadza się do układu

 

Różniczkując każde wyrażenie względem   powyższy układ sprowadza się do poniższego:

 

Z powyższego wynika, że wszystkie prawdopodobieństwa są równe, tj.   a ponieważ ich suma jest równa jeden, wynika stąd, że dla dowolnego  

 

ZastosowaniaEdytuj

Metodę optymalizacji przy pomocy mnożników Lagrange’a powszechnie stosuje się w teorii ekonomii, na przykład w celu rozwiązania problemu wyboru konsumenta, w którym konsument maksymalizuje swoją funkcję użyteczności, tak aby nie przekroczyć ograniczenia budżetowego. Mnożniki Lagrange'a mają zastosowanie również w programowaniu nieliniowym.[4]

PrzypisyEdytuj

  1. a b Por. punkt regularny (szczególne przypadki).
  2. Por. Funkcje określone na podzbiorach płaszczyzny.
  3. Na mocy twierdzenia Heinego-Borela.
  4. Bruce H. Pourciau, Modern Multiplier Rules, „The American Mathematical Monthly”, 1980.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj