Model Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa – matematyczny model rynku opisujący dynamikę cen instrumentów finansowych w czasie, służący do wyceny instrumentów pochodnych. Wyceniając opcje europejskie na rynku Blacka-Scholesa, otrzymuje się wzór Blacka-Scholesa. Praca zawierająca ten wzór została opublikowana przez Fishera Blacka i Myrona Scholesa w 1973 roku. Aksjomaty procesu cen, na których opiera się model zostały zaproponowane już w 1965 r. przez Paula Samuelsona. Udział w tworzeniu modelu miał również Robert C. Merton, dlatego model ten bywa też nazywany modelem Blacka-Scholesa-Mertona.

Model ten jest często wykorzystywany do wyceny z powodu swej prostoty. Założenia, na których się opiera są jednak mało realistyczne, przez co model w swojej klasycznej postaci niezbyt dobrze dopasowuje się do rynkowej rzeczywistości.

Model edytuj

Klasyczny model Blacka-Scholesa edytuj

Klasyczny model Blacka-Scholesa to model rynku złożonego z jednego instrumentu bezryzykowego (rachunku bankowego), którego cenę w chwili   oznaczamy   oraz instrumentu ryzykownego (akcji) o cenie w chwili   równej   Dokonujemy następujących założeń:

  1. Na rynku nie ma możliwości arbitrażu.
  2. Można bez ryzyka pożyczać i lokować dowolną ilość gotówki po tej samej, stałej stopie procentowej.
  3. Można handlować dowolną liczbą akcji, nawet niecałkowitą lub ujemną (dopuszczamy krótką sprzedaż).
  4. Nie ma kosztów transakcyjnych.
  5. Spółki nie wypłacają dywidend.

Zakładamy ponadto, że ceny instrumentów są procesami stochastycznymi na przestrzeni probabilistycznej   Proces cen akcji   spełnia następujące warunki:

  •   jest stałą (znamy cenę akcji w chwili  ),
  • dla każdego   (cena akcji jest w każdym momencie dodatnia),
  • dla każdych   zmienna   jest niezależna od  -ciała   tzn. stopa zysku z akcji w okresie od   do   nie zależy od zachowania się cen do momentu  
  • dla każdych   zmienne   i   mają ten sam rozkład, tzn. rozkład stopy zysku z akcji w okresie od   do   zależy jedynie od długości tego okresu,
  • proces   ma ciągłe trajektorie.

Powyższe założenia implikują, że proces   jest rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego:

 

gdzie     zaś   jest procesem Wienera.

Proces ceny rachunku bankowego, jako aktywa pozbawionego ryzyka spełnia

 

gdzie   zaś   jest stopą procentową (kapitalizacja ciągła).

Powyższe równania można rozwiązać, otrzymując

 
 

Ogólny model Blacka-Scholesa edytuj

Klasyczny model Blacka-Scholesa można uogólnić do modelu rynku złożonego z jednego instrumentu bezryzykowego o cenie   oraz   instrumentów ryzykownych o cenach  

Walor bezryzykowy jest opisany stochastycznym równaniem:

  przy czym  

Cena  -tej akcji spełnia równanie:

   

gdzie   jest  -wymiarowym procesem Wienera:  

Zakładamy, proces stopy procentowej   jest procesem deterministycznym (nielosowym), proces dryfu   oraz proces dyfuzji   są progresywnie mierzalne i spełniają warunek regularności:

 

Wycena w modelu Blacka-Scholesa edytuj

W klasycznym modelu Blacka-Scholesa instrumenty wycenia się, korzystając z równoważnej miary martyngałowej   o gęstości

 

w której proces cen opisuje równanie stochastyczne

 

Z istnienia dokładnie jednej równoważnej miary martyngałowej wynika, że klasyczny model Blacka-Scholesa opisuje rynek pozbawiony możliwości arbitrażu i zupełny.

Cenę wypłaty w wysokości   następującej w chwili   wyliczamy w następujący sposób:

 

w szczególności, jeżeli wielkość wypłaty w chwili zależy jedynie od ceny akcji   w chwili   tzn.   dla pewnej funkcji mierzalnej   cena tej wypłaty jest równa

 

Podstawiając   lub   otrzymujemy wzory Blacka-Scholesa na wycenę europejskich opcji kupna i sprzedaży odpowiednio.

Równanie Blacka-Scholesa edytuj

W obliczeniach numerycznych często cenę instrumentu pochodnego w modelu Blacka-Scholesa wylicza się, rozwiązując pewne równanie różniczkowe cząstkowe, tzw. równanie Blacka-Scholesa. Okazuje się, że cena   na moment   instrumentu finansowego o wypłacie zależnej jedynie od ceny akcji w chwili   spełnia:

  ze znanym warunkiem końcowym  

Wyprowadzenie edytuj

Ze wzoru Itô otrzymujemy

 

Konstruujemy w chwili   portfel w sposób następujący: pozycja krótka w jednym instrumencie pochodnym, pozycja długa w   Wartość tego portfela w chwili   to

 

stąd

 

Wstawiamy znane wyrażenia na     otrzymując

 

Widzimy zatem, że proces ceny tak skonstruowanego portfela jest deterministyczny (zniknął człon zawierający  ), zatem ten portfel jest pozbawiony ryzyka. Wobec założenia braku arbitrażu stopa zysku z tego portfela musi być równa rynkowej stopie bezryzykowej. Musi być zatem spełnione

 

co możemy przepisać jako

 

Redukując z obu stron człon   przenosząc na jedną stronę i porządkując, otrzymujemy równanie Blacka-Scholesa.

Aproksymacja za pomocą drzew dwumianowych edytuj

Klasyczny model Blacka-Scholesa można przybliżać za pomocą modeli dyskretnych, tzw. drzew dwumianowych. Ciąg modeli dwumianowych przybliżających model Blacka-Scholesa konstruuje się następująco:

  1. Dzielimy odcinek   na   równych części długości  
  2. Na każdym odcinku czasu przyjmujemy stopę procentową  
  3. Konstruujemy proces   w sposób następujący:
 
  gdzie   zaś  

Wówczas proces   otrzymany poprzez liniową interpolację procesu   zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku   do procesu   spełniającego

 
 

Oznacza to, że ceny Blacka-Scholesa wypłat zależnych jedynie od trajektorii ceny akcji, tzn. postaci   można przybliżać za pomocą skonstruowanych jak wyżej modeli CRR.

Kalibracja modelu edytuj

Jedynym nieznanym parametrem modelu jest współczynnik dyfuzji (zwany także zmiennością)   Do obliczenia zmienności można stosować dwie metody:

  1. metoda zmienności historycznej,
  2. metoda zmienności implikowanej.

Zmienność historyczna edytuj

Estymujemy parametr   z historycznych cen akcji. Z danych   gdzie   konstruujemy zmienne

 

Z założenia postaci procesu   zmienne   mają rozkład   Jako estymator zmienności możemy więc przyjąć

 

Problem z taką estymacją polega na tym, że należy brać duże   aby zmniejszyć błąd estymacji (który maleje proporcjonalnie do  ), a jednocześnie dane nie mogą pochodzić ze zbyt długiego przedziału czasowego, gdyż badania empiryczne dowodzą, że zmienność nie jest stała w czasie.

Zmienność implikowana edytuj

Polega na wyczytaniu zmienności z notowań cen opcji europejskich przy użyciu wzoru Blacka-Scholesa na wycenę opcji. Wzór ten uzależnia cenę opcji od jej parametrów:

 

gdzie:

  – bieżąca cena akcji,
  – czas do zapadalności,
  – cena wykonania,
  – zmienność,
  – stopa procentowa pozbawiona ryzyka.

Istotne jest to, że jest to funkcja rosnąca ze względu na argument   zatem można ją odwrócić, tzn. dla danych   znaleźć wielkość   taką, że

 

gdzie   jest obserwowaną (rynkową) ceną opcji. Dla danych cen rynkowych opcji   jako wartość zmienności implikowanej dla rynku można przyjąć:

  • ważoną średnią zmienności implikowanej dla poszczególnych opcji,
  • rozwiązanie problemu optymalizacyjnego  

Zaobserwowano, że zmienność implikowana nie jest stała dla wszystkich opcji, ale zależy od ceny wykonania   oraz czasu do zapadalności   Mając to na uwadze, dla ustalonego czasu zapadalności   szuka się funkcji   wyliczając wartość   w pewnych punktach   a następnie przeprowadzając interpolację (np. metodą vanna-volga) pomiędzy nimi.

Zobacz też edytuj

Bibliografia edytuj

  • Fisher Black, Myron Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. „Journal of Political Economy”. 81 (3). s. 637–654. 
  • Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2.