Moduł dualny

Moduł dualnymoduł form liniowych określonych na danym module. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru (zob. osobną sekcję), czy nawet skończenie generowanych modułów wolnych[a], elementy modułu dualnego do niego można uważać za „potencjalne funkcje współrzędnych” na tym module (wraz z funkcją zerową w celu uzyskania struktury modułu, por. przestrzeń funkcyjna); w ogólności spojrzenie to jest zbyt daleko idącym uproszczeniem (por. Przykłady).

Struktury te pojawiają się w różnych działach matematyki: w algebrze liniowej jako funkcje współrzędnych przestrzeni współrzędnych (tzw. rzuty na współrzędne), w analizie podczas całkowania na przestrzeni funkcji ciągłych, w geometrii przy definicji przestrzeni stycznej (pochodne kierunkowe), w teorii liczb jako różne ideały ciała liczbowego.

DefinicjaEdytuj

Niech   będą (lewostronnymi) modułami nad pierścieniem przemiennym   Zbiór   wszystkich homomorfizmów liniowych (tj. przekształceń liniowych)   sam ma strukturę modułu nazywanego modułem dualnym do   względem  [b]. Jeśli   to   nazywa się po prostu modułem dualnym do   bądź przestrzenią dualną lub sprzężoną (w przypadku przestrzeni liniowej   czyli modułu nad ciałem   zob. Przestrzenie liniowe i przestrzeń funkcyjna), i oznacza symbolem  [c].

Przypadek modułów dualnych względem siebie omówiono w artykule o parze dualnej koncentrując się w tym na modułach form liniowych nad pierścieniem   (przemiennym z jedynką), o ile nie zaznaczono inaczej. Dalej   będzie zapisywane po prostu  

Sumy i produkty prosteEdytuj

Konstrukcja modułu dualnego jest przemienna (z dokładnością do izomorfizmu) z konstrukcją sumy prostej modułów:  [d]. Ponieważ suma prosta modułów jest łączna (z dokładnością do izomorfizmu), to powyższa uwaga rozciąga się poprzez indukcję na sumy proste dowolnej skończonej liczbie składników: moduł dualny do sumy prostej modułów jest izomorficzny z sumą prostą modułów dualnych. Nie jest to jednak prawdą dla modułu dualnego do sumy prostej nieskończenie wielu modułów, który jest izomorficzny z produktem prostym modułów dualnych: jeśli   jest rodziną modułów, to istnieje izomorfizm  [e][f]. Wynika stąd, że dualizacja przekształca sumy proste w produkty proste; z drugiej strony istnieje zanurzenie sumy prostej modułów dualnych w module dualnym do produktu prostego modułów, lecz w ogólności brak izomorfizmu między tymi strukturami; nie mniej istnieje przekształcenie   będące iniekcją[g], które zwykle nie jest bijekcją (zob. ostatni przykład).

Dowolny skończenie generowany moduł wolny   nad   rangi   ma postać   Moduł   dualny do niego również jest tej postaci[h][i]; jeśli   jest modułem wolnym nieskończonej rangi (tj. nieskończenie generowanym), to   nie musi być wolny[j].

Bazy dualneEdytuj

Niech   wtedy też   (zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy   w   sprawia, że każda forma liniowa   jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy   odwzorowując   w element   – jest to zanurzenie   które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element  ): jeśli   są rzutami względem bazy   na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy   oznacza to, że   jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę  

Bazą dualną do bazy   modułu   nazywa się rzuty na poszczególne współrzędne wskazywane przez tę bazę, oznacza się je symbolami   (wyżej:  ). Wspomniane formy liniowe   wyznaczone są za pomocą warunków:

 

gdzie   jest tzw. deltą albo symbolem Kroneckera.

Dwukrotna dualnośćEdytuj

W powyższym przypadku izomorfizm między   a   zależał od wyboru bazy – nie był on więc kanoniczny, gdyż moduł wolny nie ma wyróżnionej bazy. Jednakże istnieje wtedy naturalnie określony (tzn. niewymagający arbitralnych wyborów) izomorfizm między modułem   a modułem   nazywanym modułem dwukrotnie dualnym do modułu  

Element   jest przekształceniem liniowym   Obliczenie wartości dla dowolnego elementu   jest przekształceniem   które jest liniowe,

 

wprost z definicji. Niech   będzie wspomnianym przekształceniem obliczania wartości, tzw. ewaluacji, wtedy   Przekształcenie   dane wzorem   jest addytywne, gdyż

 

czyli   (kluczowe jest, iż elementy   są addytywne!); podobnie   co oznacza, że odwzorowanie   jest przekształceniem liniowym   dla dowolnego modułu   – bywa ono nazywane przekształceniem naturalnym.

Jeśli   jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne   jest izomorfizmem[k], które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą   dualną do bazy dualnej   modułu dualnego   jest baza   istotnie:

 

Moduły   dla których istnieje izomorfizm   (niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.

Przekształcenia dualneEdytuj

Niech   będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami. Można je wykorzystać do przekształcenia form liniowych na   w formy liniowe na   mianowicie: jeśli   to   Odwzorowanie   dane wzorem

 

jest liniowe[l] – nazywa się je przekształceniem dualnym albo sprzężonym do  [m].

Przekształcenie   nazywane tutaj dualizacją, dane wzorem   również jest liniowe[n], a ponadto funktorialne, tj. zachowuje identyczność[o] oraz oddziałuje w określony sposób ze złożeniem (w tym wypadku odwraca jego porządek), mianowicie: jeśli   oraz   są przekształceniami liniowymi między modułami, to przekształcenie dualne   do złożenia   dane jest wzorem  [p]. Wynika stąd, że jeżeli   jest izomorfizmem modułów, to   jest izomorfizmem ich modułów dualnych, a ponadto  [q].

Jeśli   są skończenie generowanymi modułami wolnymi, to przekształcenie   jest izomorfizmem[r][s], a każde przekształcenie liniowe   można utożsamiać z   poprzez izomorfizm naturalny[t][u]. Jeśli moduły te mają bazy odpowiednio   oraz   przy czym ich bazy dualne oznaczane będą kolejno   oraz   to macierze   typu   oraz   typu   reprezentujące   i   w odpowiednich bazach (zob. macierz przekształcenia liniowego) są transponowane jedna względem drugiej[v].

Twierdzenia z przedostatniego akapitu stanowią uogólnienie własności transpozycji macierzy nad pierścieniem   kolejno       oraz   dla dowolnych macierzy   dla których wspomniane działania mają sens. Mają one tę zasadniczą przewagę nad odpowiadającymi im twierdzeniami macierzowymi (które można by chcieć uzyskać na mocy twierdzenia z poprzedniego akapitu), iż zachodzą one dla modułów, które nie muszą być wolne i skończenie generowane. Tłumaczą one koncepcyjnie z jakiego powodu transpozycja macierzy odwraca porządek mnożenia, podobnie jak interpretacja mnożenia macierzy jako złożenia przekształceń tłumaczy łączność i nieprzemienność mnożenia macierzy poprzez łączność i nieprzemienność składania funkcji – w ten sposób transpozycja macierzy jest przypadkiem szczególnym konstrukcji przekształcenia dualnego dla skończenie generowanych modułów wolnych.

Dualizacja przekształca suriektywność w iniektywność: jeżeli   jest „na”, to   jest „1-1”[w]. Jeśli   jest różnowartościowe, to   można postrzegać jako podmoduł   tzn.   dla   przekształcenie   jest z tego punktu widzenia zawężeniem   do podmodułu   Fakt, iż odwzorowanie   jest „na” oznacza, że każda forma liniowa   jest postaci   co jest równoważne stwierdzeniu, iż każde przekształcenie liniowe   można przedłużyć do przekształcenia liniowego   a więc   ma taką własność, że wszystkie elementy modułu dualnego do podmodułu   przedłużają się do elementów modułu dualnego do   W ogólności własność ta nie zachodzi[x]; istnieje jednak ważny przypadek, w którym dualizacja przekształca iniektywne przekształcenia liniowe w suriektywne –   jest ciałem: niech   będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem   wtedy jeśli przekształcenie   jest „1-1”, to   jest „na”[y] – twierdzenie to obowiązuje nie tylko dla przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, lecz wszystkich przestrzeni liniowych: dowolna niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę (twierdzenie Hamela), a bazę podprzestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy całej przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Przypadek nieskończeniewymiarowy wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna, a więc z pewnością nie jest konstruktywny. Z powyższego wynika także, że jeśli   dla modułów   jest „1-1”, a   jest składnikiem prostym   to   jest „na”[z][aa].

Przestrzenie linioweEdytuj

Ponieważ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad danym ciałem ma formalnie strukturę modułu wolnego skończonej rangi (tj. skończenie generowanego, nad tym ciałem) – wolność oznacza istnienie bazy, a skończona ranga odpowiada skończonemu wymiarowi – to wszystkie wymienione wyżej własności modułów dualnych (do skończenie generowanych modułów wolnych) przenoszą się wprost na przestrzenie dualne (do przestrzeni liniowych).

Jeśli przestrzeń liniowa   jest nieskończonego wymiaru, to za pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna można wykazać, iż

 

co oznacza, że w ogólności   nie jest izomorficzna, z przestrzenią dwukrotnie do niej dualną   (zob. ostatni przykład). W wielu jednak wypadkach przekształcenie naturalne   jest izomorfizmem zupełnie jak w przypadku skończeniewymiarowym.

W analizie często rozpatruje się nieskończeniewymiarowe przestrzenie liniowe   nad ciałami liczb rzeczywistych   lub zespolonych   Zwykle jest na niej określona pewna topologia; chcąc ją uwzględnić (zachować) przestrzeń dualną   definiuje się jako przestrzeń tylko tych form liniowych na   które są ciągłe (w tej topologii, nie zaś wszystkich). Ta „topologiczna” przestrzeń dualna   jest znacznie mniejsza niż wyłącznie „algebraiczna” przestrzeń dualna   i sama może być wyposażona w dogodną topologię – dla odróżnienia nazywa się je też przestrzeniami sprzężonymi algebraicznie oraz topologicznie. W przypadku skończeniewymiarowym zachodzi   gdyż nie istnieją wtedy nieciągłe formy liniowe określone na  

PrzykładyEdytuj

Przykładami funkcjonałów na przestrzeni euklidesowej   są rzuty na współrzędne standardowe:

 

Ogólniej, branie iloczynu skalarnego przez ustalony wektor   daje element przestrzeni dualnej: niech dla każdego   dana będzie forma   wzorem

 

Rzuty na współrzędne standardowe uzyskuje się biorąc   będące wektorami bazy standardowej   Izomorfizm   ustala przekształcenie   tj. wyżej wskazane elementy przestrzeni dualnej są już wszystkimi możliwymi[ab]. Analogicznie ma się rzecz z dowolnym modułem   (wystarczy wyżej zamienić „wektor”   na „element”   oraz „przestrzeń dualna” na „moduł dualny”). W szczególności   jest izomorficzny z   w tym sensie, iż każde przekształcenie liniowe   jest postaci   dla danego  [ac].

Niech   tj. rozważane  -moduły będą grupami abelowymi; dla danej grupy abelowej   jej  -dualną do niej jest   Jeśli   to   można utożsamiać z   za pomocą iloczynu skalarnego zupełnie jak wyżej. Z drugiej strony jednak, jeśli   będzie traktowana jako  -moduł, to   jest trywialny[ad]; traktując z kolei   jako przestrzeń  -liniową otrzymuje się nietrywialną  [ae] – uzmysławia to istotność uwzględniania pierścienia, nad którym rozpatruje się moduł dualny do danego. Jeżeli   jest skończoną grupą abelową, to jej  -dualna jest zerowa[af][ag]; przykładowo: jeśli   to   a ponieważ   z pierwszego przykładu, to   składa się z funkcji   dla różnych   (por. podgrupa torsyjna i ranga grupy abelowej).

Niech   będzie dziedziną całkowitości z ciałem ułamków   a   będzie ideałem w   Wówczas   można interpretować jako  [ah]. Jeżeli   zaś   jest ideałem maksymalnym tej dziedziny z jednoznacznością rozkładu, to ponieważ   są w niej względnie pierwsze, to

 

tj. jedynymi przekształceniami  -liniowymi   są mnożenia   dla  

Niech   a   baza dualna   przestrzeni liniowej   do bazy standardowej   przestrzeni  -liniowej   jest postaci  [ai]. Niech odwzorowanie   dane będzie wzorem   jest ono  -liniowe, przy czym   oraz   W bazie standardowej (dla dziedziny i przeciwdziedziny)   przekształcenie   reprezentowane jest za pomocą macierzy   Macierzą   w bazie   przestrzeni   jest macierz   transponowana do macierzy odwzorowania  [aj] (zob. macierz przekształcenia liniowego).

Jeśli   zaś   oraz   a ponadto   dane jest wzorem   to odwzorowanie   dane wzorem   należy do przestrzeni dualnej do   a złożenie   które przeprowadza   na   należy do przestrzeni dualnej do   – złożeniem tym jest  

Niech   będzie ciałem skończonym (np.   dla liczby pierwszej  ), a zbiór   będzie sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy   Zbiór ten jest przeliczalny, z kolei zbiór   jest nieprzeliczalny (zob. Sumy i produkty proste). Przekształcenie dualne do włożenia   jest suriekcją (zob. Przekształcenia dualne) przestrzeni dualnych w odwrotnym porządku:   w ten sposób   jest zbiorem nieprzeliczalnym jako dziedzina suriekcji na zbiór nieprzeliczalny. Ponieważ   jako przestrzenie liniowe (wymiaru jeden) oraz   to   jest nieprzeliczalny. Wynika stąd, że przekształcenie naturalne   (a w istocie żadne przekształcenie tego rodzaju) nie jest suriektywne.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Tzn. modułów, w których można wskazać skończoną bazę; odpowiedników skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych, w których skalary tworzą pierścień, a nie ciało (zob. Sumy i produkty proste).
  2. Jeśli   nie byłby przemienny, to wzór   definiuje przekształcenie   które nie musi być liniowe.
  3. Niekiedy spotyka się oznaczenie  
  4. Jeśli   to   dane wzorami   umożliwiają zdefiniowanie przekształcenia liniowego   wzorem   Na odwrót, jeśli   to przekształcenie   dane wzorem   definiuje formę   Kończy to konstrukcję przekształcenia liniowego   odwrotnego do powyższego.
  5. Jeśli   tzn.   to   można postrzegać jako podmoduł   w standardowy sposób; wówczas zawężenie   jest przekształceniem liniowym należącym do produktu   przy czym brak jakichkolwiek przesłanek za tym, by większość z tych przekształceń była zerowa, dlatego zbiór zawężeń nie tworzy zwykle sumy prostej   Oto konstrukcja przekształcenia odwrotnego do przekształcenia liniowego   danego wzorem   Niech dla dowolnego   dany będzie   wzorem   Suma ta jest skończona, gdyż   należy do sumy prostej, zatem prawie wszystkie   (wszystkie poza skończoną liczbą) są zerowe. Przekształcenie to jest liniowe, zatem należy do modułu dualnego do   Stąd odwzorowanie   jest przekształceniem liniowym   odwrotnym do skonstruowanego na początku.
  6. W przytoczonym dowodzie nieistotne było użycie modułów dualnych – możliwe jest sformułowanie twierdzenia dla modułów dualnych względem siebie; ma ono wówczas postać:   Przyjęcie   daje pierwotne stwierdzenie.
  7. Niech   a więc wszystkie, poza skończoną liczbą, przekształcenia   są zerowe; za ich pomocą można zapisać przekształcenie liniowe   w produkt prosty wzorem   przy czym suma ta w istocie jest skończona (ma tylko skończenie wiele niezerowych elementów). Funkcja   jest odwzorowaniem liniowym z   w   – jest ono iniektywne, gdyż   można odzyskać z   przyjmując   gdzie wszystkie współrzędne poza  -tą równą   są zerowe.
  8. Przypadek   dający   jest trywialny: wówczas   gdyż jedynym odwzorowaniem liniowym   jest forma zerowa.
  9. Jeżeli   to   Jeśli   jest izomorfizmem, to izomorfizm   dany jest poprzez   gdzie   jest formą liniową, a izomorfizm   ma postać  
  10. Niech   zaś   będzie modułem wolnym przeliczalnej rangi, wówczas   jest izomorficzny z   który nie jest  -modułem wolnym. Jeśli   byłby wolny, to wolny byłby dowolny podmoduł modułu wolnego nad dziedziną ideałów głównych (zob. grupa Baera-Speckera, por. twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych). Niech   będzie modułem składającym się z takich (nieskończonych) ciągów całkowitych   że najwyższa potęga   dzieląca   dąży do   dla   (przykładami są   czy   jak również dowolny ciąg, dla którego   dla dużych wszystkich   kontrprzykładem jest  ). Niech   ma  -tą współrzędną równą   a pozostałe równe   Elementy te nie tworzą bazy   gdyż nie są nawet jej zbiorem generatorów; jednakże każdy element   ma tylko skończenie wiele niezerowych współrzędnych, a więc redukcje   w   generują   a przy tym są tam liniowo niezależne, a więc tworzą bazę   skąd   ma przeliczalny wymiar nad   Jeżeli   byłby wolny, to niech   oznacza  -bazę modułu   wówczas   czyli   Ponieważ   ma przeliczalny wymiar nad   to zbiór wskaźników (dla  ) również musi być przeliczalny, a więc   ma przeliczalną bazę i przeliczalny pierścień skalarów   co daje przeliczalność   Z drugiej jednak strony funkcja   dana wzorem   jest iniektywna, a więc   jest nieprzeliczalny, gdyż   jest nieprzeliczalny. Stąd   nie jest wolny, a co za tym idzie   również.
  11. Niech   będzie bazą   a   będzie stowarzyszoną z nią bazą   Każdy niezerowy element   ma niezerową współrzędną względem wybranej bazy, zatem   dla pewnego   Stąd   co oznacza, że   jest niezerowym elementem   Tym samym jedynym   dla którego   jest zerem w   jest element   skąd wynika, że dane odwzorowanie   jest iniektywne. Pozostaje jeszcze wykazać, że każdy element   jest pewnym   niech   należy wskazać   dla którego   tj.   dla dowolnego   Ponieważ obie strony tego równania są liniowe ze względu na   to wystarczy wyznaczyć   które spełnia to równanie dla   przebiegającego bazę dualną   która rozpina   Niech   oraz   Wówczas   czyli   co oznacza, że dane przekształcenie   jest suriektywne.
  12. Jeśli   i   to
         
    Ponadto dla   zachodzi
         
    Równości te zachodzą dla dowolnego   zatem   oraz   należą do  
  13. Jeśli   oraz   oznaczają odpowiednio parowania modułów   z modułami do nich dualnymi, to przekształcenie dualne można scharakteryzować za pomocą tożsamości   (por. sprzężenie hermitowskie).
  14. Należy wykazać, że dla   zachodzi   tzn.   dla dowolnego   Obie strony tej równości należą do   zatem równość należy sprawdzić dla dowolnego   Zachodzi
         
    oraz
        
    przy czym równości spełnione są dla dowolnego   czyli   należą do   a stąd obie strony równości   oraz   mają tę samą wartość dla każdego   skąd   należy do   Analogicznie dowodzi się   dla   oraz  
  15. Ponieważ   a więc   Stąd też   dla dowolnego  
  16. Dla   oraz   zachodzi
          
    Z równości dla wszystkich   wynika,   dla wszystkich   skąd   należy do  
  17. Z definicji izomorfizmu zachodzą tożsamości   oraz   przykładając odwzorowanie dualne do obu stron i korzystając z jego funktorialności otrzymuje się ze złożeń   i   w obu kierunkach tożsamości na odpowiednich modułach dualnych.
  18. Skoro   są skończenie generowane i wolne, to są takie również moduły do nich dualne, a stąd również i   Dowód polega na wykazaniu, iż dualizacja przeprowadza bazę   w bazę   co oznacza już jej izomorficzność. Niech dane będą bazy   odpowiednio modułów   Bazę   tworzą funkcje   gdzie   oraz   dla   tj.   Przekształcenia dualne   tworzą podobną bazę:   w działaniu na bazę dualną   dla dowolnego wektora bazowego   przyjmuje postać
     
    gdy   to zachodzi dalsza równość   (w przeciwnym przypadku: element zerowy), a gdy ponadto   to kontynuacją tej tożsamości jest jedynka (w przeciwnym przypadku: zero). Stąd też   oraz   dla   a więc funkcje   tworzą bazę.
  19. Jeśli   to   i   są pierścieniami, a dualizacja jest wtedy ich antyhomomorfizmem, który staje się antyizomorfizmem, gdy   jest skończenie generowany i wolny.
  20. Zastosowanie kolejno izomorfizmu   oraz   do dowolnie wybranego elementu   daje element   należący do   Z drugiej strony przyłożenie do   przekształcenia   a następnie izomorfizmu   daje   Ponieważ dla dowolnego   zachodzi
     
    to z faktu, iż równość ta zachodzi dla dowolnego   to   można utożsamiać z  
  21. Założenia o skończonym generowaniu i wolności modułów   potrzebne są jedynie do zapewnienia, iż odwzorowania naturalne   i   są izomorfizmami – w istocie wystarczy więc założenie refleksywności wspomnianych modułów.
  22. Należy wykazać, że   niech   i   będą izomorfizmami wyrażającymi elementy modułów w odpowiednich bazach, podobnie niech dane będą   oraz   Macierze   i   są realizacjami przekształceń   i   w wybranych bazach, tj.   oraz   dla   i   Ponieważ   jest  -tym wektorem bazy standardowej   to  -tą kolumną   jest   ponieważ  -tą składową tego wektora współrzędnych w   jest   gdyż   jest  -tym wektorem bazy   Wynika stąd, że  -tym elementem macierzy   jest   Z drugiej strony  -tą kolumną   jest   gdyż   jest  -tym wektorem bazy standardowej   a z powyższej obserwacji wynika, że   Funkcje współrzędnych na   względem   są bazą dualną do tej bazy dualnej, co oznacza, że należą one do pierwotnej bazy   przy utożsamieniu   poprzez przekształcenie naturalne. W ten sposób  -tą współrzędną wektora   jest   z definicji   jest zaś   a więc  -ty element   jest równy  -temu elementowi   co oznacza, że  
  23. Należy pokazać, że dla   oraz   zachodzi   Z definicji jest   jako funkcja   a więc   dla wszystkich   Ponieważ   jest „na”, to   skąd   jako forma na  
  24. Niech   oraz   zaś   będzie zanurzeniem naturalnym. Forma   dana wzorem   jest liniowa, tj.   Fakt, iż   należy do obrazu   oznacza, że   przedłuża się (za pomocą  ) do pewnej funkcji na   oznaczanej dalej   Zachodzi   co oznacza, że   nie ma rozwiązania w   a więc   nie istnieje. Istotnie, do obrazu   należą te elementy   których obrazem w   jest   moduł   można zastąpić tu   dla dowolnego  
  25. Przypadki   są trywialne. Ponieważ przestrzenie liniowe określone są nad ciałami, to podprzestrzeń   ma dopełnienie proste w   wybierając bazę w   i rozszerzając ją do bazy   można zapisać   gdzie   jest pewną podprzestrzenią (rozpinaną przez rozszerzenie bazy). Dowolna forma liniowa   może być rozszerzona do formy   poprzez rzutowanie z   na   zgodnie z powyższym rozkładem na sumę prostą, a następnie przyłożenie wybranej formy na   Rozumowanie przedstawione we wprowadzeniu do twierdzenia pokazuje, iż   jest „na”. Dowód można zakończyć także w następujący sposób: niech   będzie rzutem   złożonym z funkcją odwrotną do   (istnieje, gdyż   z   na   jest „1-1”, a więc wzajemnie jednoznaczna), tj.   jest ono liniowe oraz   Dualizacja daje   co oznacza, że   jest „na”, gdyż dla każdego   zachodzi  
  26. Własność   dla pewnego podmodułu   uzyskana w powyższym dowodzie dla przestrzeni liniowych za pomocą baz, przyjęta jako założenie umożliwia powtórzenie powyższego dowodu w przypadku modułów.
  27. Podany wyżej kontrprzykład korzysta z faktu, iż   nie jest składnikiem prostym  
  28. Funkcje   są liniowe, zatem należą do   co więcej, ponieważ   oraz   dla każdego   to odwzorowanie   w   jest przekształceniem liniowym   Jest ono iniektywne, gdyż jeśli   należy do   to wtedy   dla każdego   z kolei wzięcie   daje   Aby pokazać suriektywność należy wybrać   wówczas dla każdego   należącego do   jest   gdzie   czyli   dla tego wyboru  
  29. Izomorfizm   opisuje wzór   a w drugą stronę –  
  30. Jeśli   to dla dowolnego   liczba całkowita   spełnia   gdzie   co oznacza, że   jest podzielne przez dowolnie wysokie potęgi   Zatem   dla wszystkich   a więc  
  31. Która jest w istocie izomorficzna z  
  32. Gdyż homomorfizm grup przeprowadza elementy skończonego rzędu   na elementy skończonego rzędu   a jedynym takim elementem tej grupy jest  
  33. Tego rodzaju dualność nie zdradza nic na temat struktury skończonej grupy abelowej – z tego powodu wprowadza się osobne pojęcie grupy dualnej (w sensie Pontriagina):   czyli zbiór homomorfizmów z   w grupę okręgu   z mnożeniem jako działaniem grupowym; znajduje ono zastosowanie podczas badania charakterów na skończonych grupach abelowych. Dualność Pontriagina stanowi kluczowy element analizy fourierowskiej na lokalnie zwartych grupach abelowych będących uogólnieniem skończonych grup abelowych.
  34. Dla każdego   funkcja   jest przekształceniem liniowym   W drugą stronę, niech   będzie formą liniową. Dla ustalonego   zachodzi   czyli   dla   dla każdego