Otwórz menu główne

Moment bezwładności

Moment bezwładności (masy) – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu.

Wymiarem fizycznym momentu bezwładności jest masa razy długość². Jednostką miary momentu bezwładności w układzie SI jest kg·m².

Moment bezwładności odgrywa analogiczną rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego. W ruchu postępowym masa, oznaczana wyraża bezwładność, czyli „opór” stawiany przez ciało podczas przyspieszania lub hamowania, zatem pojawia się w równaniach dynamiki jako współczynnik proporcjonalności pomiędzy działającą siłą i uzyskanym przyspieszeniem pędem i prędkością oraz (w połówce) pomiędzy energią kinetyczną i kwadratem prędkości:

Podobnie w ruchu obrotowym (przy ustalonej osi obrotu) moment bezwładności wyraża opór stawiany przez ciało przy zmianie prędkości obrotowej, i występuje jako współczynnik proporcjonalności pomiędzy napędzającym momentem siły i uzyskanym w jego wyniku przyspieszeniem kątowym momentem pędu i prędkością kątową oraz (w połówce) pomiędzy energią kinetyczną i kwadratem prędkości kątowej:

Moment bezwładności zależy od rozkładu masy względem osi obrotu ciała, zatem dla tego samego ciała wartość momentu bezwładności zależy od wyboru osi obrotu. Dla konkretnej osi moment bezwładności jest skalarem, zaś w uogólniony sposób moment bezwładności ciała dla dowolnego kierunku osi obrotu, przechodzącej przez środek masy, wyraża się jako tensor.

Moment bezwładności jako skalarEdytuj

DefinicjaEdytuj

Energia kinetyczna E punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określa wzór:

 

Jeżeli punkt ten porusza się po okręgu, wówczas jego energię można wyrazić w wielkościach fizycznych opisujących ruch obrotowy:

 

Z powyższego wynika, że moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

 

gdzie:

  – masa punktu,
  – odległość punktu od osi obrotu,
  – prędkość kątowa.

Moment bezwładności ciała składającego się z   punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

 

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar   Zwykle mierzy się go w kg·m².

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach   oraz niech   oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

 

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości   ciała.

Za pomocą momentu bezwładności   bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową   względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną   tej bryły

 

PrzykładyEdytuj

 
Momenty bezwładności przykładowych brył

Rura cylindrycznaEdytuj

Dla rury cylindrycznej o zewnętrznym promieniu   i wewnętrznym   obracającej się dookoła swej osi. Elementem masy jest powłoka cylindryczna o promieniu   grubości   długości   i gęstości materiału   (gęstość jest jednakowa dla całej bryły), to:

  • masa elementu:  
  • objętość elementu:  

skąd wynika, że

 

gdzie   jest objętością cylindrycznej powłoki o masie  

Moment bezwładności cylindra względem osi wynosi:

 

Całkowita masa cylindra   równa się iloczynowi gęstości   i objętości  

 

czyli:

 

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie   wewnętrznym promieniu   oraz zewnętrznym   wynosi:

 

względem osi cylindra.

WalecEdytuj

Walec można traktować jak rurę, w której promień wewnętrzny równa się 0, czyli   zatem:

 

gdzie   jest promieniem pełnego walca o masie  

Cienkościenna ruraEdytuj

Cienkościenną rurę można potraktować jako cylinder z nieskończenie cienką ścianką, czyli   zatem

 

Zobacz teżEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj