Otwórz menu główne

Moment pędu

wektorowa wielkość fizyczna

W mechanice klasycznejEdytuj

 
Zależności między siłą   momentem siły   pędem   oraz momentem pędu  

Moment pędu punktu materialnego o pędzie   którego położenie opisane jest wektorem wodzącym   względem wybranego punktu (zwykle początku układu współrzędnych), definiuje się jako wektor (pseudowektor) będący iloczynem wektorowym wektora położenia i pędu:

 

Z własności iloczynu wektorowego wynika, że wartość bezwzględna momentu pędu jest równa:

 

gdzie   oznacza kąt między wektorami   i  

Jednostką momentu pędu w układzie SI jest  

Dla ciała o momencie bezwładności   obracającego się wokół ustalonej osi z prędkością kątową   moment pędu można wyrazić wzorem:

 

Zachowanie momentu pęduEdytuj

 -tą składową momentu pędu można wyrazić wzorem:

 

gdzie   jest symbolem Leviego-Civity. W mechanice klasycznej składowe momentu pędu komutują ze sobą (są antyprzemienne), przy czym komutatorem jest nawias Poissona

 

Moment pędu jest stały, jeśli znika jego nawias Poissona; zasada zachowania momentu pędu jest konsekwencją symetrii obrotowej przestrzeni (zob. grupa obrotów), która zachowuje długość wektora (gdyż jest izometrią). Dzięki temu energia kinetyczna w hamiltonianie nie ulega zmianie. Stąd wynika, że potencjał   zależy wyłącznie od odległości   Siłę związaną z tym potencjałem nazywa się siłą centralną. Dla tego rodzaju sił zachodzi:

 

co jest równoważne zasadzie zachowania momentu pędu.

Stały moment pędu wyznacza pewien stały kierunek w przestrzeni. Konsekwencją zasady zachowania momentu pędu jest to, że ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu. Tak np. potencjał grawitacyjny Newtona proporcjonalny od odwrotności odległości   ma symetrię sferyczną; wynika stąd prawo zachowania momentu pędu dla ruchu planet i ich ruch w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku momentu pędu nazywanej płaszczyzną ekliptyki.

W mechanice kwantowejEdytuj

Operator orbitalnego momentu pędu   i jego składowe kartezjańskieEdytuj

W mechanice kwantowej operator orbitalnego momentu pędu definiuje się, dokonując kwantyzacji wektora momentu pędu mechaniki klasycznej, tj. zamienia się wektor momentu pędu

 

na operator, zastępując wektory operatorami:     Stąd mamy:

 

W reprezentacji położeniowej operatory   mają postać (tzw. reguły Jordana)

 
  gdzie  operator nabla.

Stąd otrzymuje się:

 

Po obliczeniu wyznacznika otrzymuje

 

Operator ten jest więc operatorem wektorowym (tj. wektorem, którego składowymi są operatory) w postaci

 

przy czym składowe   operatora   mają postać

 
 
 

Reguły komutacyjne dla składowych operatora  Edytuj

Można sprawdzić, że składowe operator momentu pędu spełniają reguły komutacyjne

    lub  

Z powyższego wynika, że np.

 
 
 

ale

 
 
 

Niezerowanie się komutatorów oznacza, że nie jest możliwe jednoczesne zmierzenie wszystkich trzech składowych momentu pędu układu kwantowomechanicznego – w danym eksperymencie można zmierzyć tylko jedną z nich.

Ogólna metoda kwantowaniaEdytuj

Warto zauważyć, że powyższy wynik obliczania komutatorów dla operatorów składowych moment pędu jest analogiczny do wyniku obliczania nawiasów Poissona dla składowych moment pędu mechaniki klasycznej. Ta obserwacja doprowadziła do odkryci ogólnej metody otrzymywania operatorów kwantowomechanicznych, która polega na nałożeniu warunków, iż operatory mechaniki kwantowej powinny spełniać reguły komutacyjne analogiczne do reguł, jakie spełniają ich odpowiedniki klasyczne, gdy liczy się ich nawiasy Poissona.

Kwadrat operatora momentu pęduEdytuj

Kwadrat operatora momentu pędu   definiuje się jako sumę kwadratów składowych operatora momentu pędu   tj.

 

Komutatory operatora momentu pędu i jego składowychEdytuj

Kwadrat operatora momentu pędu   jest przemienny ze wszystkimi składowymi operatora momentu pędu, tzn.:

 

Oznacza to, że możliwe jest jednoczesne zmierzenie wartości momentu pędu i jednej z jego składowych.

Komutatory operatora momentu pędu i jego składowych z operatorem HamiltonaEdytuj

Jeżeli komutator składowej operatora momentu pędu z operatorem Hamiltona zeruje się, tj.:

 

co oznacza, że dana składowa momentu pędu jest zachowywana. Podobnie, jeżeli komutator kwadratu operatora momentu pędu z operatorem Hamiltona   zeruje się, tj.

 

co oznacza, że całkowity momentu pędu jest zachowywany i możliwy jest jednoczesny pomiar energii i momentu pędu układu. Oczywiście, wynik ten zależy od tego, jaki układ rozpatruje się – od rodzaju układu i pól na układ działających zależy bowiem postać operatora Hamiltona.

Funkcje własne i wartości własne operatora momentu pęduEdytuj

We współrzędnych sferycznych operator kwadratu momentu pędu   ma postać:

 
gdzie:
  – operator Laplace’a.

Z rozwiązania równania własnego operatora  

 

otrzymuje się:

(a) wartości własne   gdzie  

(b) funkcje własne   którymi są tzw. harmoniki sferyczne; harmoniki te zależą nie tylko od liczby   ale też od liczby   przy czym   przyjmuje   wartości ze zbioru  

Operator momentu pędu   ma te same funkcje własne co operator kwadratu momentu pędu   a wartości własne równe

 

Wartości własne operatora momentu pędu   (oraz  ) nie zależą od liczb   co oznacza, że tej samej wartości momentu pędu   odpowiada   funkcji własnych   o różnych wartościach liczby   własność ta nazywana jest w mechanice kwantowej zdegenerowaniem widma operatora momentu pędu.

Degeneracja poziomów energii i jej usunięcieEdytuj

Także wartości własne operatora energii   będą zależne od wartości liczby   a nie będą zależeć od   jeżeli energia potencjalna układu będzie sferycznie symetryczna. Wtedy też pojawi się degeneracja poziomów energii układu.

Jeżeli jednak wprowadzi się asymetrię w układzie, np. atom znajdzie się w zewnętrznym polu magnetycznym (por. np. zjawisko Zeemana), to operator Hamiltona straci symetrię sferyczną. Rozwiązując równanie Schrödingera dla takiego układu, otrzyma się w konsekwencji rozszczepienie każdego z poziomów energii atomu na   podpoziomów i degeneracja zniknie. Liczbę   nazywa się z powyżej opisanych racji magnetyczna liczbą kwantową.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • W. Królikowski, W. Rubinowicz, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 2012.
  • L.D. Landau, E.M. Lifszyc, Mechanika, PWN, Warszawa 2011.
  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​.