Monoid[1]półgrupa, której działanie ma element neutralny. Formalnie, monoid to algebra sygnatury gdzie jest niepustym zbiorem, natomiast

jest działaniem dwuargumentowym, spełniającym warunki:

  1.       ( jest elementem neutralnym),
  2.       (działanie jest łączne).

Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa. Wynika stąd następujące zawieranie:

klasa półgrup klasa monoidów klasa grup.

Każdy monoid jest izomorficzny z półgrupą wszystkich endomorfizmów pewnej algebry Jest to uogólnienie twierdzenia Cayleya.

PrzykładyEdytuj

  • Liczby naturalne (z zerem bądź bez) z działaniem mnożenia: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).
  • Każdej półgrupie   można przyporządkować jej monoid   w następujący sposób[2]:
Jeśli   ma element neutralny   to monoidem tym jest  
Jeśli   nie ma elementu neutralnego, to monoidem tym jest   dla pewnego   przy czym:
dla wszystkich   zachodzi  
dla każdego   spełniona jest równość  
 
  • Monoid wolny[3].   – zbiór słów nad alfabetem   z   jako słowem pustym i   jako operacją konkatenacji. Jeśli   to słowami są na przykład:   a przykładami konkatenacji są:
 
 
  • Własność uniwersalności monoidu wolnego[4]. Po utożsamieniu elementów zbioru   ze słowami jednoelementowymi można uznać   za podzbiór monoidu wolnego  
 
Uniwersalność monoidu wolnego
 
przy czym podzbiór ten generuje   i odwzorowanie
 
ma następującą własność uniwersalności: dla dowolnego odwzorowania zbioru   w monoid  
 
istnieje jedyny taki homomorfizm
 
dla którego następujący diagram jest przemienny.
  • Zbiór wszystkich odwzorowań dowolnego zbioru   w zbiór   wraz z działaniem składania odwzorowań tworzy monoid. Jedynką jest w nim odwzorowanie identycznościowe na   Półgrupę tę nazywa się często pełną półgrupą przekształceń lub półgrupą symetryczną.
  • Jeśli   jest monoidem,   jest półgrupą, a   jest homomorfizmem na   to   jest monoidem[5].

PrzypisyEdytuj

  1. Milne J.S: Group Theory. s.31. [dostęp 2011-08-23].
  2. Gerard Lallement: Semigroups and Combinatorial Applications (tłum. ros.). Wyd. 1. Mиp, 1985, s. 16. (ros.)
  3. Milne, op. cit., s. 31.
  4. Milne, op. cit., s. 32.
  5. Скорняков, op. cit., s. 60.

BibliografiaEdytuj

  • A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. Wyd. 1. American Mathematical Society, 1964.
  • J.S. Milne: Group Theory. [dostęp 2011-08-23].
  • Скорняков Л.А.: Элементы алгебры. Москва: Наука, 1986.